Задача 55566 Найти предел функции в точке, используя...

5f7e27cd76b7cf17294b58e6

13.11.2020 18:22:42

Найти предел функции в точке, используя метод замены переменной, метод
логарифмирования, свойства предела, основные эквивалентности и/или свойства символа о:

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.11.2020 19:38:39

★

Требуется найти предел функции

[m]y=(log_{2}x)^{\frac{1}{x-2}}[/m]

Логарифмируем данную функцию:

[m]ln y=ln (log_{2}x)^{\frac{1}{x-2}}[/m]

Применяем свойства логарифма степени:

[m]ln y=\frac{1}{x-2}\cdot ln (log_{2}x)[/m]

Находим предел:

[m]lim_{x → 2}ln y=lim_{x → 2}\frac{1}{x-2}\cdot ln (log_{2}x)[/m]

Ситуация стала проще так как cправа произведение, и вообще частное:

[m]lim_{x → 2}ln y=lim_{x → 2}\frac{ln (log_{2}x)}{x-2}[/m]

Неопределённость (0/0)

Применяем[b] правило Лопиталя:[/b]

[m]lim_{x → 2}ln y=lim_{x → 2}\frac{(ln (log_{2}x))`}{(x-2)`}=...[/m] cчитайте


Так как знак предела и знак непрерывной функции можно переставлять, то

[m]ln lim_{x → 2} y=...[/m]

отсюда [m] lim_{x → 2} y=e^{...}[/m]