Задача 55565 Исследовать функцию на точки разрыва на...
Условие
пределов можно использовать весь арсенал методов, изученных на практических занятиях.
В ответе к заданию построить таблицу:
Решение
На (-2;0) функция непрерывна, так как y=sin πx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (0;2) функция непрерывна, так как y=1/(lnx-ln2) непрерывна как частное непрерывных функций
На (2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=2x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках х=-2 ; х=0; x=2
1)х=-2
Находим предел слева:
lim_(x → -2-0)f(x)=lim_(x → -2-0)sqrt(|x-2|)=sqrt(|-4|)=sqrt(4)=[b]2[/b]
Находим предел справа:
lim_(x → -2+0)f(x)=lim_(x → -2+0)sin πx =sin(-2π)=0
предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=-2
х=-2 - [i]точка разрыва первого рода[/i]
f(-2)=sqrt(|-4|)=sqrt(4)=[b]2[/b]
2)x=0
Находим предел слева:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)sin πx=0
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)1/(lnx-ln2)=0
предел слева = пределу справа ⇒ функция имеет предел в точке:
lim_(x → 0)f(x)=0
f(0)=sinπ*0=0
предел функции в точке равен значению функции в точке ⇒
х=0 - [i]точка непрерывности [/i]
3) x=2
Находим предел слева:
lim_(x →2 -0)f(x)=lim_(x → 2-0)1/(lnx-ln2)= ∞ (! ⇒ один или оба односторонних предела равны ∞ ⇒ точка разрыва второго рода)
Находим предел справа:
lim_(x →2 +0)f(x)=lim_(x → 2+0)sqrt(|x-2|)=sqrt(0)=0
х=2 - [i]точка разрыва второго рода[/i]