Задача 55508 ...
Условие
Решение
Раскладываем подынтегральную дробь на простейшие.
Применяем метод неопределённых коэффициентов
[m]\frac{x^2+1}{x(x+1)(x-1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+ \frac{D}{x-1}[/m]
Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:
[m]x^2+1= A(x-1)(x+1) + Bx(x-1) + Dx(x+1)[/m]
Применяем метод частных значений.
Если левая и правая части выражения с переменной равны, то они равны и при одном и том же значении переменной:
при х=0
1=-А ⇒ [m]A= - 1[/m]
при х=1
2=2D ⇒ [m] D=1[/m]
при х=-1
2=2B ⇒ [m]B=1[/m]
О т в е т. [m] ∫\frac{x^2+1}{x(x+1)(x-1)} dx =- ∫ \frac{1}{x}dx + ∫ \frac{1}{x+1}dx+ ∫ \frac{1}{x-1}dx=
= -ln|x|+ ln|x+1|+ln|x-1| + C[/m]