Задача 55458 Пожалуйста сделайте подробнее. Заранее...
Условие
Даны: точка М, прямая L и плоскость (Р).
Найти:
1. Точку К пересечения прямой L с плоскостью (Р);
2. Уравнение прямой МК;
3. Угол между прямыми МК и L;
4. Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость (Р);
5. Координаты точки Q пересечения этого перпендикуляра с плоскостью (Р);
6. Длину отрезка МQ;
7. Уравнение плоскости (Р1), проходящей через точку М и прямую L;
8. Угол между плоскостями (Р) и (Р1);
9. Уравнение плоскости (Р2), проходящей через прямую L перпендикулярно (Р);
10. Уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости (Р) и (Р2).
Решение
[m]\left\{\begin{matrix}
\frac{x-1}{4}= \frac{y+1}{-1}= \frac{z-2}{3}\\x+2y+z-2=0 \end{matrix}\right.[/m]
Параметризуем уравнение прямой ( см. скрин 1)
[m]\left\{\begin{matrix}
\frac{x-1}{4}= \frac{y+1}{-1}= \frac{z-2}{3}=t\\x+2y+z-2=0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
x-1=4t\\ y+1=-t\\ z-2=3t\\x+2y+z-2=0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
x=4t+1\\ y=-t-1\\ z=3t+2\\(4t+1)+2\cdot (-t-1)+(3t+2)-2=0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
x=4t+1\\ y=-t-1\\ z=3t+2\\4t+1-2t-2+3t+2-2=0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
x=\frac{4}{5}+1\\ y=-\frac{1}{5}-1\\ z=3\frac{1}{5}+2\\t=\frac{1}{5} \end{matrix}\right.[/m]
О т в е т. К([m]\frac{9}{5}; -\frac{6}{5}; \frac{13}{5})[/m]
2)
Уравнение прямой, проходящей через две точки ( cм. скрин 1)
[m]\frac{x-3}{\frac{9}{5}-3}= \frac{y-2}{ -\frac{6}{5}-2}= \frac{z-1}{\frac{13}{5}-1}[/m]
[m]\frac{x-3}{-1,2}= \frac{y-2}{ -3,2}= \frac{z-1}{1,6}[/m]
3) Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами:
Обозначим
[m]\vec{a}=(4; -1;3)[/m] - направляющий вектор прямой L:
[m]\vec{b}=(-1,2; -3,2;1,6)[/m] - направляющий вектор прямой MK:
cм. решение в скриншоте 2
4)
[m]\vec{n}=(1;2;1) [/m] - нормальный вектор плоскости [m] x+2y+z-2=0[/m]
Этот вектор одновременно является направляющим вектором прямой, перпендикулярной плоскости.
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направляющим вектором вектором:
Cм. скрин 3
[red][m]\frac{x-3}{1}= \frac{y-2}{ 2}= \frac{z-1}{1}[/m][/red] - о т в е т.
5)
Для этого решаем систему уравнений:
[m]\left\{\begin{matrix}
\frac{x-3}{1}= \frac{y-2}{2}= \frac{z-1}{1}\\x+2y+z-2=0 \end{matrix}\right.[/m]
Параметризуем уравнение прямой ( см. скрин 1)
[m]\left\{\begin{matrix}
\frac{x-3}{1}= \frac{y-2}{2}= \frac{z-1}{1}=t\\x+2y+z-2=0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
x-3=t\\ y-2=2t\\ z-1=t\\x+2y+z-2=0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
x=t+3\\ y=2t+2\\ z=t+1\\(t+3)+2\cdot (2t+2)+(t+1)-2=0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
x=1+3\\ y=2+2\\ z=1+1\\6t=6 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
x=4\\ y=4\\ z=2\\t=1\end{matrix}\right.[/m]
О т в е т. [green]Q(4;4;2)[/green]
6)
[m]MQ=\sqrt{(4-3)^2+(4-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{6}[/m]
7)
плоскость проходит через точку M(3;2;1); точку N (1;-1;2) прямой L и содержит
[m]\vec{a}=(4; -1;3)[/m] - направляющий вектор прямой L.
Пусть F(x;y;z) - произвольная точка плоскости Р_(1)
Тогда векторы:
[m]\vec{MF}=(x-3;y-2;z-1)[/m]; [m]\vec{MN}=(1-3;-1-2;2-1)=(-2;-3;1)[/m]; [m]\vec{a}=(4; -1;3)[/m] КОМПЛАНАРНЫ.
Условие компланарности трх векторов - равенство нулю их смешанного произведения.
Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат этих векторов.
[m]\begin{vmatrix}
x-3&y-2 &z-1 \\
-2&-3 &1 \\
4&-1 & 3\end{vmatrix}=0[/m]
Раскрываем определитель третьего порядка по правилу треугольника
[m]-9(x-3)-4(y-2)+2(z-1)+12(z-1)+(x-3)+6(y-2)=0[/m]
[m]-8(x-3)+2(y-2)+14(z-1)=0[/m]
и получаем ответ:
[m]-8x+2y+14z+6=0[/m]
[red][m]8x-2y-14z-6=0[/m][/red]
8) Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами
[m]\vec{n}=(1;2;1) [/m] - нормальный вектор плоскости [m] x+2y+z-2=0[/m]
[m]\vec{p}=(8;-2;-14) [/m] - нормальный вектор плоскости P_(1): [red][m]8x-2y-14z-6=0[/m][/red]
Далее по формуле как в п) 3.
Все.
