Задача 55442 Как решить неравенство 1<3x/(x-2)<3...

5f54df62356816184059ff63

09.11.2020 09:51:21

Как решить неравенство 1<3x/(x-2)<3

5f3ea7e3faf909182968ddd9

09.11.2020 15:03:06

★

Неравенство: [m] a ≤ x ≤ b[/m] равносильно системе неравенств: [m]\left\{\begin{matrix}
a ≤ x \\ x ≤ b \end{matrix}\right.[/m]

Данное неравенство равносильно системе:

[m]\left\{\begin{matrix}
1 <\frac{3x}{x-2} \\\frac{3x}{x-2} < 3 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix}
\frac{3x}{x-2} > 1 \\\frac{3x}{x-2} < 3 \end{matrix}\right.[/m]

Каждое неравенство сводим к сравнению выражения с 0:

[m]\left\{\begin{matrix}
\frac{3x}{x-2}- 1 >0 \\\frac{3x}{x-2}- 3 < 0 \end{matrix}\right.[/m] ; [m]\left\{\begin{matrix}
\frac{3x-(x-2)}{x-2} >0 \\\frac{3x-3\cdot (x-2)}{x-2} < 0 \end{matrix}\right.[/m]; [m]\left\{\begin{matrix}
\frac{3x-x+2}{x-2} >0 \\\frac{3x-3x+6}{x-2} < 0 \end{matrix}\right.[/m];

[m]\left\{\begin{matrix}
\frac{2x+2}{x-2} >0 \\\frac{6}{x-2} < 0 \end{matrix}\right.[/m];

Во втором неравенстве в числителе число 6, оно всегда положительно, значит чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным.

Но поскольку знаменатель второй дроби совпадает со знаменателем первой, а первая дробь положительна, значит и числитель первой дроби должен быть отрицательным

Получаем систему:
[m]\left\{\begin{matrix}
2x+2 <0 \\x-2 < 0 \end{matrix}\right.[/m]; [m]\left\{\begin{matrix}
x < -1 \\x < 2 \end{matrix}\right.[/m];

О т в е т. (- ∞ ; -1)