Задача 55441 Как решить неравенство 1/(2-x)+5/(2+x)<1...
Условие
Решение
[red]Все неравенства сводятся к сравнению с нулем![/red]
[m]\frac{1}{2-x}+\frac{5}{2+x}-1<0 [/m]
Приводим к общему знаменателю:
[m]\frac{(2+x)+5\cdot (2-x)-(2-x)\cdot (2+x)}{(2-x)\cdot (2+x)} <0 [/m]
[m]\frac{2+x+10-5x-4+x^2}{(2-x)\cdot (2+x)} <0 [/m]
[m]\frac{x^2-4x+8}{(2-x)\cdot (2+x)} <0 [/m]
Умножаем обе части неравенства на (-1), при этом знак неравенства меняется:
[red][m]\frac{x^2-4x+8}{(x-2)\cdot (2+x)} >0 [/m][/red]
Применяем [green][i] метод интервалов.[/i][/green]
Вводим в рассмотрение функцию:
[m]f(x)=\frac{x^2-4x+8}{(x-2)\cdot (2+x)} [/m]
Находим нули функции [m]y=f(x)[/m]
[m] x^2-4x+8 =0[/m]
[m]D=(-4)^2-4\cdot 8 <0[/m]
уравнение не имеет корней, график квадратного трехчлена [m] x^2-4x+8 [/m] не пересекает ось Ох и
расположен выше оси Ох. т.е [m] x^2-4x+8 >0[/m]
Находим нули знаменателя [m]y=f(x)[/m]
[m](x-2)\cdot (2+x)=0[/m]
[m]x=2[/m]; [m]x==2[/m].
Расставляем знаки функции [red][m]f(x)=\frac{x^2-4x+8}{(x-2)\cdot (2+x)} [/m] [/red] :
__+___ ___ (-2) __________-________ (2) ____+___
О т в е т. (- ∞ ;-2)U(2;+ ∞ )