Задача 55440 Как решить неравенство 1/(x+2)меньше или...
Условие
Решение
[red]Все неравенства сводятся к сравнению с нулем![/red]
[m]\frac{1}{x+2}-\frac{3}{x–3} ≤0 [/m]
Приводим к общему знаменателю:
[m]\frac{x-3-3\cdot (x+2)}{(x+2)\cdot (x-3)} ≤0 [/m]
[m]\frac{x-3-3x-6}{(x+2)\cdot (x-3)} ≤0 [/m]
[m]\frac{-2x-9}{(x+2)\cdot (x-3)} ≤0 [/m]
Применяем [red][i] метод интервалов.[/i][/red]
Вводим в рассмотрение функцию:
[m]f(x)=\frac{-2x-9}{(x+2)\cdot (x-3)} [/m]
Известно, что функция меняет знак, проходя через ноль.
Например парабола y=x^2-4 ( cм рис.1 на скриншоте)
Или если проходит через точку разрыва графика, например как гипербола y=1/x ( cм рис. 2 на скриншоте)
Находим нули функции [m]y=f(x)[/m]
[m] -2x-9=0[/m]
[m]x=-4,5[/m]
Находим нули знаменателя [m]y=f(x)[/m]
[m](x+2)\cdot (x-3)=0[/m]
[m]x=-2[/m]; [m]x=3[/m].
Расставляем знаки функции, для этого достаточно найти знак в одной точке интервала:
Например, [m]f(100)=\frac{-2\cdot 100 -9}{(100+2)\cdot (100-3)} < 0 [/m]
100 ∈ (3;+ ∞ ) поэтому на этом интервале ставим " минус":
__+___ [-4,5] ___-___ (-2) __________+________ (3) ____-___
Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя в квадратных скобках (входит в ответ)
О т в е т. [-4,5; -2) U(3; + ∞ )