Задача 55398 ...
Условие
Решение
[m] ∫ ∫ ∫_{V}= ∫ ∫_{D) ∫^{z=4-2x-\frac{4}{3}z}_{z=0}f(x;y;z) dz)dxdy[/m]
внутренний интеграл по переменной [b][i]z[/i][/b], при этом [i]x[/i] и [i]y[/i] - константы.
Из уравнения плоскости [m]\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1[/m] получено уравнение [m]\frac{z}{4}=1-\frac{x}{2}-\frac{y}{3}[/m] или умножаем на 4:
[m]z=4-4\cdot \frac{x}{2}-4\cdot \frac{y}{3}[/m] - это верхний предел интегрирования по [b][i]z[/i][/b],
нижний - плоскость хОу
[m]=∫ ∫ _{D}4\cdot (\frac{(1+\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4})^{-4+1}}{-4+1})^{4-4\cdot \frac{x}{2}-4\cdot\frac{y}{3}}_{0}dxdy=[/m]
[m]=(-\frac{4}{3})\cdot∫ ∫ _{D} (1+\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{4-4\cdot \frac{x}{2}-4\cdot\frac{y}{3}}{4})^{-3}dxdy+(\frac{4}{3})∫ ∫ _{D} (1+\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+0)^{-3}dxdy=[/m]
это надо упростить и переходить к двойному интегралу ( записала сразу как два интеграла так как после подстановки верхнего и нижнего пределов получается разность двух выражений)
Проекцией области V на пл. хОу: является треугольник с вершинами в точках: (0;0);(2;0) и (0;3)
Уравнение прямой, соединяющей точки (2;0) и (0;3) получается из уравнения [m]\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1[/m] при z=0 ⇒
[m]\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1[/m] ⇒ [m]y = 3-\frac{3}{2}x[/m]
D: [m]0 ≤ x ≤ 2[/m] ; [m]0 ≤ y ≤ 3-\frac{3}{2}x[/m]
Пределы интегрирования есть.
=... считайте...