Задача 55350 ...
Условие
z=1-x^2-y^2
z=0
y=x
y=sqrt(3)*x x⩾0, y⩾0
Решение
Полярные координаты:
[m]x= ρ cos φ[/m]
[m]y= ρ sin φ [/m] ⇒ [m]x^2+y^2= ρ ^2[/m] ⇒ [blue][m]1-x^2-y^2=1- ρ^2[/m] [/blue]
[m]dxdy= ρ d ρ d φ[/m]
Область D ограничена окружностью: [m] x^2+y^2 = 1[/m], который получен как линия пересечения двух плоскостей
[m] z=1- x^2-y^2[/m] и [m] z=0[/m]
Поэтому
[m]0 ≤ ρ ≤ 1[/m]
Область D ограничена прямыми : [m] y=x [/m] и [m] y=\sqrt{3}x[/m], которые образуют с осью Ох углы в
[m]\frac{π}{4} [/m] и [m] \frac{π}{3}[/m] и поэтому:
[m]\frac{π}{4} ≤ φ ≤ \frac{π}{3}[/m]
[m]= ∫^ {\frac{π}{3}}_{ \frac{π}{4}} ∫ ^{1}_{0} (1-ρ^2)\cdot ρ d ρ d φ=[/m]
[m]=∫^ {\frac{π}{3}}_{ \frac{π}{4}} (∫ ^{1}_{0} ( ρ- ρ ^3)d ρ )d φ =∫ ^ {\frac{π}{3}}_{ \frac{π}{4}} ( \frac{ρ ^2}{2}-\frac{ ρ ^4}{4})|^{1}_{0}d φ =[/m]
[m]=∫ ^ {\frac{π}{3}}_{ \frac{π}{4}}(\frac{1 ^2}{2}-\frac{ 1 ^4}{4}))d φ =\frac{1}{4}∫^{\frac{π}{3}}_{ \frac{π}{4}}d φ =\frac{1}{4}\cdot ( φ )|^ {\frac{π}{3}}_{ \frac{π}{4}}=\frac{1}{4}\cdot ({\frac{π}{3}}-{ \frac{π}{4}})=\frac{1}{4}\cdot \frac{π}{12}=[/m][red][m]\frac{π}{48}[/m][/red]