Задача 55348 Найти объем тела, заданного...

5f953f0df4c6ff7008206538

06.11.2020 12:19:22

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. При вычислении перейти к полярным координатам
z=x^2+y^2
z=0
x2+y2=R^2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.11.2020 21:17:03

★

V= ∫ ∫ _(D) (x^2+y^2)dxdy

Полярные координаты:

x= ρ cos φ
y= ρ sin φ ⇒ [blue]x^2+y^2= ρ ^2[/blue]

dxdy= [b]ρ d ρ d φ[/b]

0 ≤ ρ ≤ R

0 ≤ φ ≤ 2π


= ∫ ^(2π)_(0) ∫ ^(R)_(0) [blue]ρ ^2[/blue]* [b]ρ d ρ d φ[/b]=∫ ^(2π)_(0) ([blue]∫ ^(R)_(0) ρ ^3d ρ[/blue] )d φ =∫ ^(2π)_(0) ( ρ ^4/4)|^(R)_(0)d φ =

∫ ^(2π)_(0)(( R ^4/4)-0)d φ =(R^4/4)∫ ^(2π)_(0)d φ =(R^4/4)*( φ )|^(2π)_(0)=(R^4/4)*(2π-0)=[red]πR^4/2[/red]