Задача 55291 Исследование функции и построение...
Условие
Решение
(-∞;1)U(1;+∞)
2) функция не является ничётной, ни нечётной
y(-x)=3*(-x)^2/(-x-1) ≠ y(x)
y(-x)=3*(-x)^2/(-x-1) ≠ - y(x)
3)
x=1 - вертикальная асимптота
так как
lim_(x→1-0)(3x^2)/(x-1)=-∞
lim_(x→1+0)(3x^2)/(x-1)=+∞
4) горизонтальной асимптоты нет, так как
lim_(x→∞)(3x^2)/(x-1)=∞
k=lim_(x→∞)(3x^2)/(x*(х-1))=3
b=lim_(x→∞)((3x^2)/(x-1))-3x=3
y=3x+3 - наклонная асимптота
5) точки пересечения с осью Ох
y=0
3x^2=0
x=0
y=0
(0;0) - точка пересечения с осью Ох и с осью Оу
6)
y`=((3x^2)`*(x-1) - (3x^2)*(x-1)`)/(x-1)^2=(6x^2-6x-3x^2)/(x-1)^2=(3x^2-6x)/(x-1)^2
y`=0
3x^2-6x=0
3x*(x-2)=0
__+___ (0) _-__ (1) _-__ (2) ___+___
x=0 - точка максимума
х=2 - точка минимума
y`>0 на (-∞;0) и на (2;+∞) ⇒ функция возрастает на (-∞;0) и на (2;+∞)
y`<0 на (0;1) и на (1;2) ⇒ функция убывает на (0;1) и на (1;2)
7)
y``=[b]([/b](3x^2-6x)`*(x-1)^2-(3x^2-6x)*((x-1)^2))`[b])[/b]/(x-1)^2 =[b]([/b](6x-6)*(x-1)^2-(3x^2-6x)*2(x-1))*(x-1)`[b])[/b]/(x-1)^2
y``=6/(x-1)^3
y`` >0 при x >1, кривая выпукла вниз
y`` <0 при x <1, кривая выпукла вверх