Задача 55035 Найти производные функций, используя...
Условие
Решение
[m]lny=lnx^{arctgx}[/m]
По свойству логарифма степени:
[m]lny=arctgx*lnx[/m]
Дифференцируем:
[m](lny)`=(arctgx\cdot lnx)`[/m]
Cправа - производная произведения, слева производная логарифма, но переменная y - зависимая переменная и потому находим производную [m](lny)`[/m] как производную[i] сложной[/i] функции:
[m]\frac{y`}{y}=(arctgx)`\cdot (lnx)+(arctgx)\cdot (lnx)`[/m] ⇒
[m]y`=y\cdot (\frac{lnx}{1+x^2}+arctg x\cdot \frac{1}{x})[/m]
[m]y`=x^{arctgx}(\frac{lnx}{1+x^2}+ \frac{arctg x}{x})[/m] - это ответ.
Второе также.
Применяем свойство логарифма, логарифм произведения (частного) равен сумме (разности) логарифмов и свойство логарифма степени