Задача 55004 ...

5f6cf18a347ae046112d5363

26.10.2020 20:46:55

Диагональ равносторонней трапеции равна d, узкий угол равен α. Найдите периметр и высоту трапеции, если боковые стороны трапеции равны наименьшему основанию.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

26.10.2020 21:18:53

★

Пусть AB=CD=x
Тогда
BC=2x - наименьшее основание

Проведем высоты ВК и СМ

Из прямоугольного треугольника CMD:

CM=x*sin α
MD=x*cos α

AK=MD=x*cos α
KM=BC=2x

Тогда AD=AK+KM+MD=x*cos α +2x+x*cos α =2x*(1+cos α )

По теореме косинусов из Δ ACD:

AC^2=AD^2+CD^2-2AD*CD*cos α

d^2=(2x*(1+cos α ))^2+x^2-2*2x*(1+cos α )*cos α ⇒ находим х

и подставляем в


P=AB+BC+CD+AD=4x+2x(1+cos α )=2[b]x[/b]*(3+cos α )

S=(1/2)*(AD+BC)*CM=(1/2)(2x(1+cos α )+2x)*x*sin α =(3/2)*[b]x[/b]^2(2+cos α)*sin α