Задача 54950 Известно, что a, b, c, и d - попарно...
Условие
а) Может ли выполняться равенство (a+c)/(b+d) = 6/23?
б) Может ли дробь ( a+c)/(b+d) быть в 11 раз меньше, чем сумма (a/b + c/d)?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь (a+c)/(b+d), если а>4b и c>7d?
Решение
a=10;b=80; c=14;d=12
[m]\frac{10+14}{80+12}=\frac{24}{92}=\frac{6}{23}[/m]
б) Нет. Доказываем методом от противного
Пусть может, тогда верно равенство:
[m]11\cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}[/m] ⇔ [m]11\cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{ad+bc}{bd}[/m] ⇔
[m]11abd+11bcd=abd+b^2c+ad^2+bcd[/m] ⇔[m]10abd-ad^2=b^2c-10bcd [/m]
[m]ad\cdot (10b-d)=bc\cdot (b-10d)[/m]
Так как наименьшее двузначное число 10, а наибольшее 99, то
[m]10b ≥ 100[/m]
[m]d ≤ 99[/m]
[m]10b-d ≥ 100-99 ≥ 0[/m]
C другой стороны
[m]b ≤ 99[/m]
[m]d ≥ 10[/m]
[m]b-10d ≤ 99-100 ≤ 0[/m]
[b]Противоречие:[/b]
[m]ad\cdot (10b-d)=bc\cdot (b-10d)[/m]- слева и справа числа разных знаков и осни могут быть равными.
в) Попробуйте порассуждать самостоятельно