Задача 54917 Найти производные dy/dx...
Условие
Решение
[m] y`=\frac{1}{lnx}\cdot (lnx)`=\frac{1}{lnx}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{xlnx}[/m]
2)
Логарифмируем:
[m]lny=ln\frac{x^2\sqrt{x+1}}{sin{1-x}}[/m]
Применяем свойства логарифма:
[m]lny=2ln(x)+\frac{1}{2}ln(x+1) - ln (sin(1-x)[/m]
Логарифмируем, у - зависимая переменная, т.е сложная функция
[m]\frac{y`}{y}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{(sin(1-x))`}{sin(1-x)}[/m]
[m] y`=y \cdot (\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{(cos(1-x))\cdot (1-x)`}{sin(1-x)})[/m]
[m] y`=\frac{x^2\sqrt{x+1}}{sin{1-x}} \cdot (\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{cos(1-x)}{sin(1-x)})[/m]
3) Логарифмируем.
4)
Дифференцируем обе части равенства, при этом у - зависимая переменная, т.е сложная функция
[m] (cos^2(x+y))`=(x\cdot y)`[/m]
[m](2cos(x+y))\cdot (cos(x+y))`=x`\cdot y+x\cdot y`[/m]
[m](2cos(x+y))\cdot (-sin(x+y))\cdot (x+y)`=1\cdot y+x\cdot y`[/m]
[m](2cos(x+y))\cdot (-sin(x+y))\cdot (1+y`)= y+x\cdot y`[/m] ⇒ находим y`
y=...