Задача 54908 Найти угол между плоскостью х+2у=0 и...
Условие
Решение
Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами
Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;1;1) и содержащую ось Ох
Уравнение плоскости в общем виде:
[m]Ax+By+Cz+D=0[/m]
М(1;1;1) подставляем координаты точки в уравнение:
А+В+С+D=0
Ось Ох содержит точки: (0;0;0) и (1;0;0)
подставляем их координаты в уравнение:
{D=0
{A+D=0 ⇒ A=-D=0
Тогда А+В+С+D=0 ⇒ -D+В+С+D=0 ⇒
В+С=0 ⇒ [b]B=-C[/b]
[m]Ax+By+Cz+D=0⇒ 0x -Cy+Cz+0=0[/m]
[b]y-z=0 [/b]- уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;1;1) и содержащую ось Ох
Нормальный вектор:
[m]\vec{n_{2}}=(0;1;-1)[/m]
Находим скалярное произведение нормальных векторов
[m]\vec{n_{1}}\cdot \vec{n_{2}}=1\cdot 0+2\cdot 1+0\cdot (-1)=2[/m]
[m]cos ∠( \vec{n_{1}}, vec{n_{2}})=\frac{\vec{n_{1}}\cdot vec{n_{2}}}{|\vec{n_{1}}|\cdot| vec{n_{2}}|}=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2)}=\sqrt{\frac{2}{5}}[/m]
[m] ∠( \vec{n_{1}}, vec{n_{2}})=arccos \sqrt{\frac{2}{5}}[/m]