Задача 54826 ...
Условие
Решение
надо устранить неопределенность и сократить на х,
для этого умножаем и числитель и знаменатель на [m]\sqrt{9+x}+3[/m]
[m]=lim_{x → 0 }\frac{(\sqrt{9+x}-3)(\sqrt{9+x}+3)}{(x^3+x)((\sqrt{9+x}+3)}=[/m]
упрощаем числитель по формуле (a-b)*(a+b)=a^2-b^2
знаменатель раскладываем на множители:
[m]=lim_{x → 0 }\frac{(\sqrt{9+x})^2-3^2}{x(x^2+1)((\sqrt{9+x}+3)}=lim_{x → 0 }\frac{9+x-9}{x(x^2+1)((\sqrt{9+x}+3)}=[/m]
[m]=lim_{x → 0 }\frac{x}{x(x^2+1)((\sqrt{9+x}+3)}=lim_{x → 0 }\frac{1}{(x^2+1)((\sqrt{9+x}+3)}=\frac{1}{(0+1)\cdot \sqrt{0+9}+3}=\frac{1}{6}[/m]
2.
Замена переменной:
x-4=t ⇒ x^3-64=(t+4)^3-64=(t+4)^3-4^3=(t+4-4)*((t+4)^2+4*(t+4)+4^2)=t*(t^2+8t+16+4t+16+16)=t*(t^2+28t+48)
x → 4, ⇒ t → 0
[m]lim_{x →4}\frac{x^3-64}{tg(x-4)}=lim_{t →0}\frac{t\cdot (t^2+28t+48)}{tgt}=lim_{t →0}\frac{t}{tgt}\cdot lim_{t →0} (t^2+28t+48)=1\cdot 48=48 [/m]
3.
[m]y`=(8x^2+\sqrt[3]{x^4}-\frac{4}{x}-\frac{2}{x^3})`=(8x^2)`+(\sqrt[3]{x^4})`-(\frac{4}{x})`-(\frac{2}{x^3})`=[/m]
[m]=8\cdot (x^2)`+(x^{\frac{4}{3}})`-4\cdot(x^{-1})`-2\cdot (x^{-3})`=16x+\frac{4}{3}\cdot x^{\frac{4}{3}-1}-4\cdot (-1)\cdot x^{-2}-2\cdot (-3)\cdot x^{-3-1}=16x+\frac{4}{3}\cdot \sqrt[3]{x}+\frac{4}{x}+\frac{6}{x^4}[/m]