Задача 54813 y'-2xy=2xe^x^2 ...

5f9119cfc20ac647c5ab5b7d

22.10.2020 08:35:41

y'-2xy=2xe^x^2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22.10.2020 09:21:53

★

Линейное первого порядка .

Решают методом Бернулли.

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-2*x*u*v=2xe^(x^2)

Сгруппируем:

u`*v-2(v`-2*x*v)=2xe^(x^2)

Выбираем функцию v так,чтобы
v`-2*x*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`-2*x*v=0 ⇒ dv/v=2xdx ⇒ ∫ dv/v=∫ 2xdx ⇒ ln|v|=x^2 ( C=0)⇒ [b]v=e^(x^2)[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*v+u*0=2xe^(x^2)

u`*e^(x^2)=2xe^(x^2)

u`=2x

u=x^2+C

y=u*v=(x^2+C)*e^(x^2)

[b]y=x^4+Ce^(x^2)[/b]- [b]общее решение[/b]