Задача 54757 Даны четыре точки...

5f86fcde4df5f623068f4812

21.10.2020 11:28:31

Даны четыре точки А1(4;2;10),А2(1;2;0),А3(3;5;7),А4(2;-3;5). Вычислить косинус угла между координатной плоскостью Оxy и плоскостью А1А2А3

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.10.2020 13:36:27

★

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами:

При пересечении двух плоскостей образуется пара вертикальных углов.

Угол выбираем наименьший.

Поэтому косинус его положительный, значит в формуле нахождения угла - модуль скалярного произведения


[m] \vec{n_{Oxy}}=\vec{k}=(0;0;1)[/m]

[m] \vec{n_{A_{1}A_{2}A_{3}}}=\vec{k}=(30;1;-9)[/m] ( см. уравнение плоскости в приложении)

Тогда скалярное произведение векторов:

[m] \vec{n_{Oxy}}\cdot \vec{n_{A_{1}A_{2}A_{3}}}=-9[/m]

[m] cos \angle (\vec{n_{Oxy}},\cdot \vec{n_{A_{1}A_{2}A_{3}}})[/m]=[m]\frac{|-9|}{\sqrt{30^2+1^2+(-9)^2}}=\frac{9}{\sqrt{982}}[/m]

Пусть M ( x; y; z) – произвольная точка плоскости.

Тогда векторы
vector{A1M}=(x–4;y–2;z–10)
vector{A1A2}=(–3;0;–10)
vector{A1A3}=(–1;3;-3)
лежат в одной плоскости, а значит КОМПЛАНАРНЫ

Условие компланарности= равенство нулю определителя третьего порядка,
составленного из координат этих векторов: