Задача 54741 ...
Условие
Решение
3.29
На (- ∞ ;-1) функция непрерывна, так как y=2 - константа, непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (-1;1) функция непрерывна, так как y=1-x- линейная функция, непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как логарифмическая функция
y=lnx непрерывна на (0 ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=-1 и х=1
x=-1
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -1-0)f(x)=lim_(x → -1-0)2=2
Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → -1+0)f(x)=lim_(x → +0)(1-x)=1-(-1+0)=2
предел слева = пределу справа
и равен значению функции в точке
Определение непрерывности выполняется
х=-1 - [i]точка непрерывности [/i]
х=1
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)(1-x)=0
Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)lnx=ln1=0
предел слева = пределу справа
Предел в точке x=1 существует
и равен значению функции в точке
Определение непрерывности выполняется
х=1 - [i]точка непрерывности[/i]
3.30
На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=-x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (0;2) функция непрерывна, так как y=x^3 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x+4 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=2
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(-x)=0
Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(x^3)=0
предел слева = пределу справа
Предел в точке x=0 существует
и равен значению функции в точке
Определение непрерывности выполняется
х=0 - [i]точка непрерывности[/i]
х=2
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x →2 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)(x^3)=8
Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)(x+4)=6
предел слева ≠ пределу справа
Предел в точке x=1 не существует
Функция имеет конечный скачок
х=1 - [i]точка разрыва первого рода[/i]
4,29
x=3 - [b]точка непрерывности [/b]
[m]f(3)=6^{\frac{2}{4-x}}=36[/m]
Находим [green]предел слева:[/green]
[m]lim_{x→3-0}6^{\frac{2}{4-x}}=6^{2}=36[/m]
Находим [red]предел справа:[/red]
[m]lim_{x→3+0}6^{\frac{2}{4-x}}=6^2}}=36[/m]
или
так
В точке x=3 функция f(g(x))непрерывна, как композиция непрерывных функций.
g(x)=2/(4-x) непрерывна в точке 3
(Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → 3-0)g(x)=lim_(x → 3-0)\frac{2}{4-x}=(2/4-3+0)=2/1=2
Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → 3+0)f(x)=lim_(x →3 +0)(x+1)/(x-2)=2/1[green]=2[/green]
f(3)=(2)/(4-3)=[green]2[/green]
x=3 - [b]точка непрерывности [/b]
Функция f(x) непрерывна в точке [green]2[/green]
(Находим [green]предел слева:[/green]
6^(2)
Находим [red]предел справа:[/red]6^2
x=4 - [b]точка разрыва второго рода[/b]
функция не определена в точке ( так как на 0 в знаменателе делить нельзя)
Находим [green]предел слева:[/green]
[m]lim_{x→4-0}6^{\frac{2}{4-x}}= 6^{+ ∞}=+∞ [/m]
[m]lim_{x→+0})6^{\frac{2}{4-x}}= 6^{- ∞}=0 [/m]
Один из односторонних пределов равен ∞ ⇒ x=4 - [b]точка разрыва второго рода[/b]
4.30
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → 2-0)f(x)=lim_(x → 2-0)(x+1)/(x-2)=[b](2-0+1)/(2-0-2)=3/(-0)[/b]=- ∞
Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → 2+0)f(x)=lim_(x → 2+0)(x+1)/(x-2)=[b](2+0+1)/(2+0-2)=3/(+0)[/b]=+ ∞
Выделенное жирным шрифтом не нужно, это подробности счета
Если хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ , то это[i] точка разрыва второго рода[/i]
(Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → 3-0)f(x)=lim_(x → 3-0)(x+1)/(x-2)=(3/1=4
Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → 3+0)f(x)=lim_(x →3 +0)(x+1)/(x-2)=4/1=4
f(3)=(3+1)/(1)=4
x=3 - [b]точка непрерывности [/b]