Задача 54663 Продифференцировать данные функции...
Условие
Решение
Логарифмируем
1)
[m]lny=ln(sin^{4}(3x))\cdot (arctg(2x^{3}))[/m]
Логарифм произведения равен сумме логарифмов:
[m]lny=ln(sin^{4}(3x))+ln(arctg(2x^{3}))[/m]
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания
[m]lny=4\cdot ln(sin(3x))+ln(arctg(2x^{3}))[/m]
Дифференцируем обе части равенства, при этом помним,
что у -[i]зависимая переменная[/i], т.е сложная функция
[m] \frac{y`}{y}=4\cdot \frac{(sin(3x))`}{sin(3x)}+\frac{(arctg(2x^3))`}{arctg(2x^3)}[/m]
[m] \frac{y`}{y}=4\cdot \frac{(cos(3x))\cdot (3x)`}{sin(3x)}+\frac{\frac{1}{1+(2x^3)^{2}}\cdot (2x^{3})`}{arctg(2x^3)}[/m]
[m] y`=y\cdot (4\cdot \frac{3\cdot cos(3x)}{sin(3x)}+\frac{\frac{6x^2}{1+8x^{6}}}{arctg(2x^3)})[/m]
[m] y`=(sin^{4}(3x))\cdot (arctg(2x^{3})\cdot (12\cdot \frac{ cos(3x)}{sin(3x)}+\frac{6x^2}{(1+8x^{6})\cdot arctg(2x^3)})[/m]
[m] y`=12 arctg(2x^{3})\cdot cos (3x)\cdot sin^{3}(3x) +\frac{6x^2}{1+8x^{6}}\cdot sin^{4}(3x) [/m] - о т в е т.
2)
[m]lny=ln\frac{e^{-sin2x}}{(x+5)^4}[/m]
[m]lny=ln(e^{-sin2x})-ln((x+5)^4)[/m]
[m]lny=(-sin2x)\cdot lne-4ln(x+5)[/m]
lne=1
Дифференцируем:
[m] \frac{y`}{y}=(-sin2x)`-4\frac{(x+5)`}{x+5}[/m]
[m] y`=y\cdot((-cos2x)\cdot (2x)`-4\frac{1}{x+5})[/m]
[m] y`=\frac{e^{-sin2x}}{(x+5)^4}\cdot(-2cos2x-\frac{4}{x+5})[/m]
[m] y`=\frac{-2cos(2x)\cdot e^{-sin2x}}{(x+5)^4}-\frac{4\cdot e^{-sin2x}}{(x+5)^5}[/m] - о т в е т.