Задача 54662 12 задание очень срочно...
Условие
Решение
[m]f `(x)=(x^4-\frac{4}{3}x^3+2)`[/m]
Применяем правила вычисления производных:
производная суммы равна сумме производных
[m]f `(x)=(x^4)`+(\frac{4}{3}x^3)`+(2)`[/m]
постоянный множитель можно выносить за знак производной:
[m]f `(x)=(x^4)`+\frac{4}{3}(x^3)`+(2)`[/m]
По таблице:
(x^4)`=4x^3
(x^3)`=3x^2
(C)`=0 ⇒ (2)`=0
[m]f `(x)=4x^3+\frac{4}{3}\cdot 3x^2+0[/m]
[m]f `(x)=4x^3+4x^2[/m]
Находим точки,в которых производная равна 0
[m]4x^3+4x^2=0[/m]
[m]4x^2\cdot (x+1)=0[/m]
x=0 или x+1=0 ⇒ x=-1
Это точки, в [i]которых производная равна 0 [/i], в этих точках возможно наличие экстремума
Чтобы узнать есть в них экстремум или нет
применяем
[b]теорему ( достаточное условие существования экстремума )[/b]:
если в точке х_(о) производная равна 0
и
[i]при переходе через точку [/i] х_(о) производная меняет знак + на -,
то х_(о) - [i]точка максимума[/i]
если же производная меняет знак - на +, то х_(о) - [i]точка минимума[/i])
В других случаях (при смене знака + на + или - на - ) экстремума нет
Поэтому
находим знак производной:
слева от нуля производная отрицательна, справа положительна
_____-___ (0) __+____
Значит x=0 - точка минимума
0 ∈ [-2;3]
и это единственная точка экстремума:
схематически график будет выглядеть так ( см. рис. 1):
Наибольшее значение на отрезке функция будет принимать в левом или в правом конце этого отрезка.
[m]f(-2)=(-2)^4-\frac{4}{3}\cdot (-2)^3+2=16+\frac{32}{3}+2=28\frac{2}{3}[/m]
[m]f(3)=3^4-\frac{4}{3}\cdot 3^3+2=81-36+2=47[/m]- наибольшее
О т в е т.
f_(наименьшее)=f(0)=2
f_(наибольшее)=f(3)=47