Задача 5464 Заданы точки A(2;-1;1), B(1;-1;5),...

81254317

05.12.2015

Заданы точки A(2;-1;1), B(1;-1;5), C(0;0;1), D(2;1;3). Найти: а)внутренний угол при вершине А в треугольнике ABC, б)площадь треугольника ABC,в)объем треугольной пирамиды ABCD; г)длину и направляющие косинусы вектора AD.

sloboda

05.12.2015

★

Решаем эту задачу следующим образом. Для начала находим координаты точки D. В параллелограмме стороны параллельны, то есть разность координат конца и начала отрезков, являющихся его сторонами пропорциональны.
Координаты отрезка AB (-3,-2,-3). Параллелен ему отрезок СD, но посокльку мы не знаем координат точки D, то запишем координаты отрезка CD следующим образом:
CD (a+1, b-1, c), где a, b и с - координаты точки D по осям x, y и z соответственно.

Оставим как есть, у паралеллограма есть ещё две паралельных стороны.
BC (-1, 0, 1) и AD (a-3, b-1, c-2).
Выразим а через с:
(a - 3)/-1 = (c - 2)/1
3 - a = c - 2
a= 5 - c

Теперь можно использовать св-во пропорциональности у первых найденных нами паралельных отрезков:
(a + 1)/-3 = c/ -3
Заменяем a через с.
(6 - с) /-3 = с/-3
6 - с = с
с =3.
Отсюда а = 2.
b находим тоже через св-во пропорциональности.
(b - 1)/-2 = (a + 1)/-3
(b - 1)/-2 = 3/-3
b - 1 =2, b = 3.
Координаты точки D (2,3,3)
Теперь можно легко найти длину отрезка по формуле.
BD^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 4 + 16 + 16 = 36.
BD = 6.