Задача 54634 5.2 найти решение дифференциального...

5f8d68bf2123e0613fbe1ce4

19.10.2020 14:40:15

5.2 найти решение дифференциального уровнения
бернулли

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.10.2020 16:22:54

★

[m]x`+\frac{2}{y}x=2\sqrt{x}\cdot sec^2y[/m]


Решаем методом Бернулли

Решение в виде
[m]x=u\cdot v[/m]
Находим
[m]x`=u`\cdot v+u\cdot v`[/m]


Подставляем в уравнение:
[m]u`\cdot v+u\cdot v`+\frac{2}{y}\cdot u\cdot v=2\sqrt{u\cdot v}\cdot sec^2y[/m]

Группируем:

[m]u`\cdot v+u\cdot (v`+\frac{2}{y}\cdot v)=2\sqrt{u\cdot v}\cdot sec^2y[/m]

Функции [m] u(y)[/m] и [m] v(y) [/m] - произвольные, поэтому

выбираем их так, чтобы

1)
[m](v`+\frac{2}{y}\cdot v)=0[/m]

и тогда

2)
[m]u`\cdot v+u\cdot 0=2\sqrt{u\cdot v}\cdot sec^2y[/m]


Решаем два уравнения с разделяющимися переменными


1)
[m](v`+\frac{2}{y}\cdot v)=0[/m] ⇒ [m]\frac{dv}{v}=-\frac{2}{y}dy[/m]⇒[m]\int \frac{dv}{v}=-2\int \frac{dy}{y}[/m]⇒

[m]ln|v|=-2ln|y|[/m] ( С=0) ⇒ [m]ln|v|=ln|y|^{-2}[/m] ⇒ [m]v=y^{-2}[/m]


тогда

2)
[m]u`\cdot y^{-2} +u\cdot 0=2\sqrt{u\cdot y^{-2}}\cdot sec^2y[/m]

[m]\frac{du}{dy}\cdot y^{-2} =2\sqrt{u\cdot y^{-2}}\cdot sec^2y[/m]


[m]\frac{du}{\sqrt{u}} =2y \cdot sec^2ydy[/m]

[m]\int \frac{du}{\sqrt{u}} =2\int y \cdot sec^2ydy[/m]

Интеграл справа считаем по частям

[m]2\sqrt{u} =2 y \cdot tg y -2\int tg ydy[/m]

[m]2\sqrt{u} =2 y \cdot tg y -2ln|cosy|+C_{1}[/m]


[m]u = (y \cdot tg y -ln|cosy|+C)^2[/m] ,где C=C_(1)/2

О т в е т. [m]x=(y \cdot tg y -ln|cosy|+C)^2\cdot y^{-2}[/m]