Задача 54627 Исследовать функции на непрерывность...
Условие
Решение
На (- ∞ ;-1) функция непрерывна, так как y=2 - константа, непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (-1;1) функция непрерывна, так как y=1-x- линейная функция, непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как логарифмическая функция
y=lnx непрерывна на (0 ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=-1 и х=1
x=-1
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -1-0)f(x)=lim_(x → -1-0)2=2
Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → -1+0)f(x)=lim_(x → +0)(1-x)=1-(-1+0)=2
предел слева = пределу справа
и равен значению функции в точке
Определение непрерывности выполняется
х=-1 - [i]точка непрерывности [/i]
х=1
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)(1-x)=0
Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)lnx=ln1=0
предел слева = пределу справа
Предел в точке x=1 существует
и равен значению функции в точке
Определение непрерывности выполняется
х=1 - [i]точка непрерывности[/i]
2)
На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=-x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (0;2) функция непрерывна, так как y=x^3 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x+4 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=2
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(-x)=0
Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(x^3)=0
предел слева = пределу справа
Предел в точке x=0 существует
и равен значению функции в точке
Определение непрерывности выполняется
х=0 - [i]точка непрерывности[/i]
х=2
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x →2 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)(x^3)=8
Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)(x+4)=6
предел слева ≠ пределу справа
Предел в точке x=1 не существует
Функция имеет конечный скачок
х=1 - [i]точка разрыва первого рода[/i]