Задача 54563 ...

5f8c0bca2123e0613fbe1410

18.10.2020 14:38:39

Задание 1: В параметрически заданных функциях найти первую и вторую производные от у и х: (фото 1) Начинается с [r]x=∛t[/r]
Задание 2: Найти производную y' и y" от неявной функции: (фото 2) Начинается с [r]x^2-y^2-2y=0[/r]
Задание 3: Логарифмическое дифференцирование. Найти производные следующих функций: (фото 3)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.10.2020 14:50:20

★

1.
[m]x`_{t}=(t^{\frac{1}{3}})`=\frac{1}{3}\cdot t^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot t^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{t^2}}[/m]

[m]y`_{t}=(t^{\frac{1}{4}})`=\frac{1}{4}\cdot t^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}\cdot t^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4\cdot \sqrt[4]{t^3}}[/m]

[m] y`_{x}=\frac{y`_{t}}{x`_{t}}=\frac{\frac{1}{4\cdot \sqrt[4]{t^3}}}{\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{t^2}}}=\frac{3}{4}\cdot t^{(\frac{2}{3}-\frac{3}{4})}=\frac{3}{4\cdot \sqrt[12]{t}}[/m]

[m] y``_{xx}=(y`_{x})`_{t}=\frac{(y`_{x})`_{t}}{x`_{t}}=\frac{3}{4}\cdot \frac{(t^{-\frac{1}{12}})`_{t}}{x`_{t}}=
\frac{3}{4}\frac{(-\frac{1}{12})\cdot t^{(-\frac{13}{12})}}{\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{t^2}}}=-\frac{9}{16}\cdot t^{-\frac{13}{12}-\frac{2}{3}}=-\frac{9}{16}\cdot t^{-\frac{21}{12}}=-\frac{9}{16\cdot t\cdot \sqrt[3] t^{2}}[/m]

2.
Дифференцируем обе части равенства
[m](x^2-y^2-2y)`=0`[/m]

Так как х - независимая переменная, а у - функция, зависимая, то производную от у считаем по правилу вычисления производной сложной функции

[m]2x-2y\cdot y`-2\cdot y`=0[/m]

[m]2x-y`\cdot(2y+2)=0[/m]

находим [m] y`[/m]

[m]y`=\frac{2x}{2y+2} [/m] - это первая производная

Дифференцируем еще раз:

[m](2x-2y\cdot y`-2\cdot y`)`=0`[/m]

[m]2-(2y`\cdot y`+2y`\cdot y``)-2y``=0[/m]

[m]1-(y`)^2-y``\cdot (y`+1)=0[/m]

Подставив найденное

[m]y`=\frac{2x}{2y+2} [/m]

находим [m]y``[/m]

[m]y``=\frac{1-(\frac{2x}{2y+2})^2}{\frac{2x}{2y+2}+1}[/m] - упрощайте...

3.
Задача на вычисление производной [i]показательно-степенной [/i]функции.

Есть готовая формула ( см. приложение)

Решаем методом логарифмирования

[m]lny=lnx^{sin2x}[/m]

Применяем свойство логарифма степени:

[m]lny=sin2x\cdot lnx[/m]

Применяем правило вычисления производной произведения и формулу нахождения производной логарифмической функции для независимой переменной x
(lnх)1=1/x,
так и сложной функции
( lny)=y`/y

[m]\frac{y`}{y}=(sin2x)`\cdot lnx+(sin2x)\cdot (lnx)`[/m]


[m]\frac{y`}{y}=(cos 2x)\cdot (2x)`\cdot lnx+(sin2x)\cdot \frac{1}{x}[/m]

[m] y`=y\cdot ((2cos 2x)\cdot lnx+ \frac{sin2x}{x})[/m]

[m] y`=x^{sin2x}\cdot( (2cos 2x)\cdot lnx+ \frac{sin2x}{x})[/m]