Задача 54562 Найти предел...
Условие
Решение
[m] lim_{x → 1 }\frac{\sqrt[3]{7+x}-2}{\sqrt{2x+7}-3}=[/m] ( неопределенность 0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на [m] (\sqrt[3]{7+x})^2+\sqrt[3]{7+x}\cdot 2+4)\cdot (\sqrt{2x+7}+3)[/m]
[m]=lim_{x → 1 }\frac{(\sqrt[3]{7+x}-2)\cdot }{(\sqrt{2x+7}-3 )\cdot (\sqrt[3]{7+x})^2+\sqrt[3]{7+x}\cdot 2+4)\cdot (\sqrt{2x+7}+3)}=[/m]
в числителе формула разности кубов:[m] (\sqrt[3]{a}-b)\cdot ((\sqrt[3]{a})^2+\sqrt[3]{a}\cdot b+b^2)=a-b^3[/m]
в знаменателе формула разности квадратов [m] (\sqrt{a}-b)(\sqrt{a}+b)=a-b^2[/m]
[m]=lim_{x → 1 }\frac{(\sqrt[3]{7+x})^3-2^3)(\sqrt{2x+7}+3)}{((\sqrt[3]{7+x})^2+\sqrt[3]{7+x}\cdot 2+4)\cdot ((\sqrt{2x+7})^2-3^2)}=lim_{x → 2 }\frac{(7+x-8)\cdot (\sqrt{2x+7}+3)}{((\sqrt[3]{7+x})^2+\sqrt[3]{7+x}\cdot 2+4)\cdot (2x+7-9)}=lim_{x → 2 }\frac{(x-1)\cdot (\sqrt{2x+7}+3)}{(\sqrt[3]{7+x})^2+\sqrt[3]{7+x}\cdot 2+4)\cdot (2x-2)}=[/m]
[m]=lim_{x → 2 }\frac{ (\sqrt{2x+7}+3)}{((\sqrt[3]{7+x})^2+\sqrt[3]{7+x}\cdot 2+4)\cdot 2}[/m]
подставляем вместо х =1 и считаем:
[m]=\frac{ (\sqrt{2\cdot 1+7}+3)}{((\sqrt[3]{7+1})^2+\sqrt[3]{7+1}\cdot 2+4)\cdot 2}=\frac{3+3}{2^2+2\cdot 2+4}=0,5[/m]