Задача 54540 y'=4y-8/3x+2y-7...
Условие
Решение
[m]y`=\frac{1}{x`}[/m]
[m]\frac{1}{x`}=\frac{4y-8}{3x+2y-7}[/m]
[m]3x+2y-7=(4y-8)\cdot x`[/m]
[m]x`-\frac{3}{4y-8}\cdot x=\frac{2y-7}{4y-8}[/m] - линейной неоднородное первой степени относительно х и х`
Решение методом Бернулли в виде x=u(y)*v(y)
x`=u`*v+u*v`
[m]u`\cdot v+u\cdot v`-\frac{3}{4y-8}\cdot u\cdot v=\frac{2y-7}{4y-8}[/m]
Группируем:
[m]u`\cdot v+u\cdot( v`-\frac{3}{4y-8}\cdot v)=\frac{2y-7}{4y-8}[/m]
Так как функции u и v - [i]произвольные[/i], выбираем их так, чтобы
1)
[m]( v`-\frac{3}{4y-8}\cdot v)=0[/m]
тогда
2)
[m]u`\cdot v+u\cdot 0=\frac{2y-7}{4y-8}[/m]
Получили два уравнения с РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ переменными.
Решаем[b] первое:[/b]
[m]\frac{dv}{dy}=\frac{3}{4y-8}v[/m]
[m]\frac{dv}{v}=\frac{3}{4y-8}dy[/m]
[m]ln|v|=\frac{3}{4}ln(4y-8)[/m] ( С считаем равным 0,[i]произвольные[/i] же функции - то)
[m]ln|v|=ln(4y-8)^{\frac{3}{4}}[/m]
[m]v=ln(4y-8)^{\frac{3}{4}}[/m]
[m]v=\sqrt[4]{(4y-8)^3}[/m]
и подставляем[b] во второе[/b]
[m]u`\cdot \sqrt[4]{(4y-8)^3}=\frac{2y-7}{4y-8}[/m]
[m]du=\frac{2y-7}{(4y-8)\cdot \sqrt[4]{(4y-8)^3}}dy[/m]
Интегрируем заменой переменной:
[m] 4y-8=t[/m]