Задача 54522 найдите корни уравнения,принадлежащие...

5f42a255b5ac0b3cc606fbf7

16.10.2020 16:07:04

найдите корни уравнения,принадлежащие указанному интервалу

5f3ea7e3faf909182968ddd9

16.10.2020 17:16:47

★

По свойству [i]периодичности[/i] синуса и косинуса
sin(x+[b]n* 360 °[/b] )=sinx
n∈ Z
cos(x+[b]n* 360[/b] ° )=cosx
n∈ Z

1)
Так как
sin(x-450 ° )=sin(x-90 ° -360 ° )=sin(x-90 °)=-sin(90 ° -x)=-cosx
и
cos(3x-180 ° )=cos(180 ° -3x)=-cos 3x

Уравнение принимает вид:

[red]-сosx-(-cos3x)=0[/red]
cos3x - cosx=0
-2sin2x*sinx=0

sin2x=0 ⇒ 2x=πn, n ∈ Z ⇒[b] x=(π/2)*n, n ∈ Z[/b]

sinx=0 ⇒[b] x=πk, k ∈ Z [/b]

О т в е т. [b] x=(π/2)*n, n ∈ Z[/b];[b] x=πk, k ∈ Z [/b]
интервалу [b] (0; 180 ° )[/b] принадлежит корень
[b](π/2)=90 °[/b], получен из серии [b] x=(π/2)*n, n ∈ Z[/b] при n=1


2)
Так как
sin(x+270 °)=sin(x+360 ° -90 ° )=sin(x -90 °)=-sin(90 °-x)=- cosx
cos(3x+720 ° )=cos3x

Опечатка в условии задачи, нет [b]0[/b] справа
Уравнение:

[red]-cosx-cos3x=0[/red]
cosx+cos3x=0

2cos2x*cos(-x)=0
cos2x*cosx=0

cos2x=0 ⇒ 2x=(π/2)+πn, n ∈ Z ⇒[b] x=(π/4)+(π/2)*n,, n ∈ Z[/b]

cosx=0 ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z [/b]

О т в е т. [b] x=(π/4)+(π/2)*n,, n ∈ Z[/b];[b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z [/b]

интервалу (40 ° ; 90 ° ) принадлежит корень
[b]x=(π/4)=45 °[/b] , получен из серии x=(π/4)+(π/2)*n,, n ∈ Z при n=1

3)
По свойству четности косинуса:
cos(-5x-180 ° )=cos(180 ° +5x)
По формулам приведения
cos(180 ° +5x)=-cos5x

По свойству периодичности и формулам приведения
sin(4x+630 ° )=sin(4x+720 ° -90 ° )=sin(4x-90 ° )=по свойству нечетности синуса=-sin(90 ° -4x)
по формулам приведения=-cos4x
Уравнение:
[red]-cos5x-(-cos4x)=0[/red]

-cos5x+cos4x=0

cos5x-cos4x=0

-2sin(5x+4x)/2 * sinx(5x-4x)/2=0
-2sin(9x)/2 * sinx(x)/2=0


sin(9x/2)=0 ⇒ (9x/2)=πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(2/9)πk, k ∈ Z[/b]
sinx(x)/2=0⇒ (x/2)=πn, n ∈ Z ⇒ [b]x=2πn, n ∈ Z[/b]

О т в е т. [b]x=(2/9)πk, k ∈ Z[/b]; [b]x=2πn, n ∈ Z[/b]
интервалу (0 ° ; 90 ° ) принадлежат корни
[b]x=(2π/9)=40 °[/b] , получен из серии (2/9)πk, k ∈ Z[/b] при k=1
и
[b]x=(4π/9)=80 °[/b] , получен из серии (2/9)πk, k ∈ Z[/b] при k=2

4)
По свойству четности косинуса:
cos(4x-180 ° )=cos(180 ° -4x)=
по формулам приведения:
=-cos4x

по формулам приведения:
sin(2x+90 °) =cos2x

Уравнение:
[red]-cos4x-cos2x=0[/red]
cos4x+cos2x=0
2cos(4x+2x)/2 * сos(4x-2x)/2=0

2cos3x*cosx=0

cos3x=0 ⇒ 3x=(π/2)+πn, n ∈ Z ⇒ [b]x=(π/6)+(π/2)*n, n ∈ Z[/b]
cosx=0 ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]

О т в е т
[b]x=(π/6)+(π/2)*n, n ∈ Z[/b]; [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]
интервалy (180 ° ; 270 ° ) принадлежит корень
[b] x=(π/6)+π=210 °[/b] , получен из серии x=(π/6)+(π/2)*n, n ∈ Z при n=2