Задача 54500 Применение производной к построению...
Условие
Решение
Вертикальных асимптот нет
2) Функция не является ни четной, ни нечетной
у(–х)=(1+2*(-х)/((–x)^2+1)=(1-2х)/(x^2+2)
y(–x) ≠ y(x)
y(–x) ≠– y(x)
3)limx→ +∞f(x)=limx→ +∞(1+2х)/(x^2+2)=0
limx→–∞f(x)=limx→ –∞(1+2х)/(x^2+2)=0
y=0 – горизонтальная асимптота
Наклонной асимптоты нет, так как
k=limx→∞(f(x))/x=limx→∞(1+2х)/(x^3+2х)=0
4) Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
1+2х=0
x=-1/2
(-1/2;0)–точка пересечения с осью Ох.
C осью Оу
х=0 ⇒ у=(1+0)/(0+2)=1/2
(0;1/2)–точка пересечения с осью Оу.
5)
y`=((1+2x)`·(x^2+2)–(x^2+2)`·(1+2x))/(x^2+2)^2;
y`=(2·(x^2+2)–2x·(1+2x))/(x^2+2)^2;
y`=(4-2x-2x^2)/(x^2+2)
y`=0
4-2x-2x^2=0
x^2+x-2=0
D=9
x=-2 или x=1
Знак производной
__ - __ (–2) _+_ (1) ___-__
y`> 0 при x∈ (–2;1)
Функция возрастает при x∈ (–1;1)
y`<0 при x∈(–∞;–2) и при х∈ (1;+∞)
Функция убывает при x∈(–∞;–2) и при х∈ (1;+∞)
x=-2– точка минимума, производная меняет знак с – на +
у(-2)=(1-4)/(4+2)=-1/2 – наименьшее значение функции
x=1 – точка максимума
y(–1)=(1+2)/(1+2)=1 – наибольшее значение функции
6)
y``=((4-2x-2x^2)`·(x^2+2)–(4-2x-2x^2)((x^2+2)^2)`)/(x^2+2)^4
y``=((-2-4x)·(x^2+2)–(4-2x-2x^2)(2(x^2+2)*(x^2+2)`)/(x^2+2)^4
y``=(-2-4x–(4-2x-2x^2)*2*(2x)/(x^2+2)^3
y``=(8x^2-12x-2)/(x^2+2)^3
y``=0
8x^2-12x-2=0
4x^2-6x-1=0
D=36+16=52=(4*13)
x=(3± √13)/4 –точки перегиба,
вторая производная при переходе через эти точки меняет знак .
Функция выпукла вниз на (– ∞ ; –(3- √13)/4 ) и на ((3+ √13)/4)
выпукла вверх на ( –(3- √13)/4;(3+ √13)/4 ) 