Задача 54479 ...

5f7769413c2bbb460a93108f

15.10.2020 21:19:53

Функция f частично определена следующим образом:

[m]f(x) =\left\{\begin{matrix} 1, x <-1\\p(x), - 1≤ x≤ 1\\
-2*x^2+14*x-11, x>1 \end{matrix}\right.
[/m]
(рисунок)

Найти многочлен третьей степени p(x) (p(x)=a_(3)*x^3+a_(2)*x^2+a_(1)*x+a_(0))
так, чтобы функция была непрерывно дифференцируемой.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.10.2020 23:15:08

★

f(x)- непрерывная:
[m] lim_{x → -1+0}a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{o}=1[/m] ⇒[m] -a_{3}+a_{2}-a_{1}x+a_{o}=1[/m]

[m] lim_{x → 1-0}a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{o}=1[/m]⇒ [m]a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{o}=1[/m]

Cкладываем
[m] 2a_{2}+2a_{o}=2[/m]⇒[m] a_{2}+a_{o}=1[/m]
Вычитаем
[m]2a_{3}+2a_{1}=0[/m]⇒[m]a_{3}+a_{1}=0[/m]

f(x)- дифференцируемая

ее производная непрерывная функция

[m]f`(x)=\left\{\begin{matrix}
0, x <-1\\3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}, -1\leq x \leq1\\-4x+14, x >1 \end{matrix}\right.[/m]

Причем

[m] lim_{x → -1+0}3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}=0[/m]

[m] lim_{x → 1-0}3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}=lim_{x → 1+0}(-4x+14)[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}
3a_{3}-2a_{2}+a_{1}=0\\3a_{3}+2a_{2}+a_{1}=10 \end{matrix}\right.[/m]

Вычитаем из первого второе
[m]4a_{2}=10[/m]
[m]a_{2}=2,5[/m]
[m]a_{o}=1-a_{2}=1-2,5=-1,5[/m]

Складываем первое и второе
[m] 6a_{3}+2a_{1}=10 [/m] ⇒ [m] 3a_{3}+a_{1}=5 [/m] и [m]a_{3}+a_{1}=0[/m]
[m] 3a_{3}-a_{3}=5 [/m]⇒[m] a_{3}=2,5[/m]
[m]a_{1}=-a_{3}=-2,5[/m]