Задача 54445 1)Вычислить (sqrt(2)-i)/(1+sqrt(2)i) ,...
Условие
2)Найти все значения корня sqrt(sqrt(2)-isqrt(2))
Решение
[m]\frac{\sqrt{2}-i}{1+i\cdot \sqrt{2}}=[/m]
умножаем и числитель и знаменатель на [m]1-i\cdot \sqrt{2}[/m]
[m]=\frac{(\sqrt{2}-i)(1-i\cdot \sqrt{2})}{(1+i\cdot \sqrt{2})(1-i\cdot \sqrt{2})}=\frac{\sqrt{2}-i-2i+i^2\cdot \sqrt{2}}{1^2-i^2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}-i-2i- \sqrt{2}}{1^2-i^2\cdot 2}=\frac{-3i}{3}=-i[/m]
2)
z=x+iy
z=sqrt(2)-isqrt(2) ⇒ x=sqrt(2); y=-sqrt(2)
|z|=sqrt((√2)^2+(√2)^2)=√4=2
cos φ =x/|z|=sqrt(2)/2
sin φ =y/|z|=–sqrt(2)/2
косинус положительный, синус отрицательный, угол в 4–й четверти
⇒ φ =(–π/4)
z=2·(cos(–π/4)+isin(–π/4))
cos(–π/4)=cos(π/4) – в силу четности косинуса
sin(–π/4)=–sin(π/4) – в силу нечетности косинуса
z=2(cos(π/4)–i·sin(π/4))
По формуле вычисления корней ( см. приложение)
[m]\sqrt{z}=\sqrt{2}(cos\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}–isin\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2})[/m]
k=0,1
при k=0
[m](\sqrt{z})_{0}=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{8}–i\cdot sin\frac{\pi}{8})[/m]
при k=1
[m](\sqrt{z})_{1}=\sqrt{2}(cos\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi }{2}–i\cdot sin\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi }{2}=\sqrt{2}(cos\frac{9\pi}{8}–i\cdot sin\frac{9\pi}{8})=\sqrt{2}(cos( \pi +\frac{\pi}{8})–i\cdot sin(\pi+\frac{\pi}{8}))=\sqrt{2}(-cos \frac{\pi}{8}+i\cdot sin\frac{\pi}{8})[/m]
2 числа:
[m](\sqrt{z})_{0}[/m] и[m](\sqrt{z})_{1}[/m]- ответ