Задача 54420 Как найти наибольший отрицательный...

5f54df62356816184059ff63

14.10.2020 16:13:25

Как найти наибольший отрицательный корень уравнения
cos2x=(sqrt2)(cosx-sinx)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.10.2020 19:57:55

cos2x=cos^2x-sin^2x=(cosx-sinx)*(cosx+sinx)

(cosx-sinx)*(cosx+sinx)=sqrt(2)*(cosx-sinx)

(cosx-sinx)*(cosx+sinx)-sqrt(2)*(cosx-sinx)=0

(cosx-sinx)*(cosx+sinx-sqrt(2))=0


cosx-sinx=0 или cosx+sinx-sqrt(2)=0


cosx-sinx=0

tgx=1

[b]x=(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]


или


cosx+sinx-sqrt(2)=0

cosx+sinx=sqrt(2)

по формулам приведения: [blue]cosx=sin((π/2)-x)[/blue]

sin((π/2)-x)+sinx=sqrt(2)

2sin(π/4)* cos((π/4)-x)=sqrt(2), так как [blue]sin(π/4)=sqrt(2)/2[/blue]

cos((π/4)-x)=1

cos((π/4)-x)=cos(x-(π/4))

cos(x-(π/4)=1

x-(π/4)=2πn, n ∈ Z

[b]x=(π/4) + 2πn, n ∈ Z[/b]

О т в е т.[b](π/4)+πk, k ∈ Z;(π/4) + 2πn, n ∈ Z[/b]

наибольший отрицательный
x=(π/4)-π=-3π/4