Задача 54416 Найти область сходимости...
Условие
Пожалуйста помогите)
Решение
и применяем к нему признак Даламбера
[m]lim_{n → ∞ }\frac{\frac{\sqrt{ln^3(n+2)\cdot |x+1|^{n+1}}}{n+2}}{\frac{\sqrt{ln^3(n+1)\cdot |x+1|^{n}}}{n+1}}=|x+1|\cdot lim_{n → ∞ }\frac{\sqrt{ln^3(n+2)}}{\sqrt{ln^3(n+1)}}\cdot lim_{n → ∞} \frac{n+1}{n+2}=|x+1|\cdot 1\cdot 1[/m]
Если
[m]|x+1|<1[/m] , то ряд сходится
Решаем неравенство:
[m] |x+1| <1[/m]
[m]-1 < x+1< 1[/m]
[m]0 < x< 2[/m]
Проверяем сходимость в точках
x=0
Получаем числовой ряд: ∑ [m]\frac{\sqrt{ln^3(n+1)}}{n+1}[/m]
[red]рас[/red]ходится по интегральному признаку
[m]\int ^{+\infty}_{0}\frac{\sqrt{ln^3(x+1)}}{x+1}dx=\int ^{+\infty}_{0} ln^{\frac{3}{2}}(x+1) d(ln(x+1))=\frac{ln^{\frac{5}{2}}(x+1)}{\frac{5}{2}}|^{+\infty}_{0}=+\infty[/m]
x=2
Получаем числовой ряд: ∑ [m]\frac{\sqrt{ln^3(n+1)\cdot 2^{n}}}{n+1}[/m]- расходится по признаку Даламбера
[m]lim_{n → ∞ }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{\sqrt{ln^3(n+2)\cdot 2^{n+1}}}{n+2}}{\frac{\sqrt{ln^3(n+1)\cdot 2^{n}}}{n+1}}=2 >1[/m]
О т в е т. [red]([/red]0;2)