Задача 54390 ...
Условие
Решение
неопределенность, которая устраняется применением второго замечательного предела
по свойству степени:
[m]= lim_{x → ∞ }(\frac{x-2}{x+1})^{2x}\cdot lim_{x → ∞ }(\frac{x-2}{x+1})^{3} =[/m]
делим числитель и знаменатель дроби [m]\frac{x-2}{x+1}[/m] на [m] x[/m]
[m]=lim_{x → ∞ }(\frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}})^{2x}\cdot 1[/m]
[m]lim_{x → ∞ }(\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}})^{2x}=[/m]
[m]=lim_{x → ∞ }\frac{(1-\frac{2}{x})^{2x}}{(1+\frac{1}{x})^{2x}}=[/m]
второй замечательный предел:
[red][m]lim_{x → ∞ }(1+\frac{1}{x})^{x}=e[/m] и следствие: [m]lim_{x → ∞ }(1+\frac{k}{x})^{x}=e^{k}[/m][/red]
[m]=\frac{e^{-4}}{e^{2}}=e^{-4-2}=e^{-6}=\frac{1}{e^{6}}[/m]