Задача 54375 3.Найти область сходимости...
Условие
Решение
[m]lim_{n → ∞ }\frac{\frac{|x-1|^{n+1}}{2^{n+1}ln(n+2)}}{\frac{|x-1|^{n}}{2^{n}ln(n+1)}}=\frac{|x-1|}{2}lim_{n → ∞ }\frac{ln(n+1)}{ln(n+1)}=\frac{|x-1|}{2}lim_{n → ∞ }\frac{(ln(n+1))`}{(ln(n+1))`}=\frac{|x-1|}{2}lim_{n → ∞ }\frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+1}}=\frac{|x-1|}{2}[/m]
Если
[m]\frac{|x-1|}{2}<1[/m] то ряд сходится
Решаем неравенство:
[m] |x-1| < 2[/m]
[m]-2 < x-1 < 2[/m]
[m]-1 < x < 3[/m]
Проверяем сходимость в точках
x=-1
Получаем числовой ряд: ∑ [m]\frac{(-1)^{n}}{ ln(n+1)}[/m]
Сходится по признаку Лейбница
x=3
Получаем числовой ряд: ∑ [m]\frac{1}{ ln(n+1)}[/m]
Ряд расходится по признаку сравнения
[m]\frac{1}{n+1} < \frac{1}{ln(n+1)}[/m]
∑ [m]\frac{1}{n+1}[/m]- гармонический, он расходится