Задача 54373 Исследование функции на выпуклость и...
Условие
Решение
Вертикальных асимптот нет
2) Функция является четной.
у(–х)=2·(–х)^2–(–x)^4=2x^2–x^4
y(–x)=y(x)
3)lim_(x→ +∞)f(x)=–∞
lim_(x→–∞)f(x)=+∞.
Горизонтальных асимптот нет
Наклонной асимптоты нет, так как
k=limx→∞(2x^2–x^4)/x=∞
4) f(x)=0
–x^4+2x^2=0
x^4–2x^2=0
x^2=0 или x^2=2
x=0 и x= ± √2 –Точки пересечения с осью Ох.
При х=0 у=0
(0;0) – точка пересечения с осью Оу.
5)
y`=4x–4x^3;
y`=0
4x–4x^3=0
4x·(1–x^2)=0
x=0 или 1–x^2=0 ⇒х=±1
Знак производной
_+__ (–1) ___–___ (0) __+__ (1 ) __–__
x=0 –минимума, производная меняет знак с – на +
x=–1 и х=1 – точки максимума, производная меняет знак с + на –
y`>0 при x∈ (–∞;–1) и x∈ (0;1)
Функция возрастает при x∈ (–∞;–1) и x∈ (0;1)
y`<0 при x∈ (–1;0) и (1;+∞)
убывает при x∈ (–1;0) и (1;+∞)
7)y``=(4x–4x^3)`=4–12x^2
y``=0
4–12x^2=0
x= ± √(1/3) –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .
Функция выпукла вверх на (– ∞ ;–√(1/3)) и на (√(1/3);+ ∞ )
выпукла вниз на (–√(1/3);√(1/3))