Задача 54348 Найти пределы указанных функции...
Условие
Решение
[m] lim_{x → ∞ }(\frac{3x+2}{3x-1})^{4x-1}=[/m]
по свойству степени [m]a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}[/m]
[m]=lim_{x → ∞ }(\frac{3x+2}{3x-1})^{4x}\cdot lim_{x → ∞ }(\frac{3x+2}{3x-1})^{-1} =[/m]
делим числитель и знаменатель дроби [m]\frac{3x+2}{3x-1}[/m] на [m] 3x[/m]
[m]=lim_{x → ∞ }(\frac{\frac{3x+2}{3x}}{\frac{3x-1}{3x}})^{4x}\cdot1=[/m]
[m]lim_{x → ∞ }(\frac{1+\frac{2}{3x}}{1-\frac{1}{3x}})^{4x}=[/m]
[m]=lim_{x → ∞ }\frac{(1+\frac{1}{\frac{3x}{2}})^{4x}}{(1-\frac{1}{3x})^{4x}}=[/m]
второй замечательный предел:
[m]=lim_{x → ∞ }(1+\frac{1}{x})^{x}=e[/m] и следствие: [m]=lim_{x → ∞ }(1+\frac{k}{x})^{x}=e^{k}[/m]
[m]=\frac{e^{\frac{8}{3}}}{e^{-\frac{4}{3}}}=e^{\frac{8}{3}+\frac{4}{3}}=e^4[/m]
8.
[m] lim_{x → 2 }\frac{\sqrt{x+7}-3}{\sqrt{x+2}-2}=[/m] ( неопределенность 0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на [m] (\sqrt{x+7}+3)(\sqrt{x+2}+2)[/m]
[m]=lim_{x → 2 }\frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)(\sqrt{x+7}+3)}=[/m]
формула разности квадратов [m] (a-b)(a+b)=a^2-b^2[/m]
[m]=lim_{x → 2 }\frac{(\sqrt{x+7})^2-3^2)(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2})^2-2^2)(\sqrt{x+7}+3)}=lim_{x → 2 }\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}=lim_{x → 2 }\frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+7}+3}=\frac{2+2}{3+3}=\frac{2}{3}[/m]