Задача 54327 Помогите пожалуйста ЗАДАНИЕ на скриншоте...
Условие
[b]Примеры [/b] A) sqrt( sqrt(3)-i )
Б) 4 из корня sqrt(-1+i)
Решение
z=x+iy
z=sqrt(3)-i ⇒ x=sqrt(3); y=-1
|z|=sqrt((√3)^22+(–1)^22=√4=2
cos φ =x/|z|=sqrt(3)/2
sin φ =y/|z|=–1/2
косинус положительный, синус отрицательный, угол в 4–й четверти
⇒ φ =(–π/6)
z=2·(cos(–π/6)+isin(–π/6))
cos(–π/6)=cos(π/6) – в силу четности косинуса
sin(–π/6)=–sin(π/6) – в силу нечетности косинуса
z=2(cos(π/6)–i·sin(π/6))
По формуле вычисления корней ( см. приложение)
[m]\sqrt{z}=\sqrt{2}(cos\frac{\frac{\pi}{6}+2\pi k}{2}–isin\frac{\frac{\pi}{6}+2\pi k}{2})[/m]
k=0,1
при k=0
[m](\sqrt{z})_{0}=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{12}–i\cdot sin\frac{\pi}{12})[/m]
при k=1
[m](\sqrt{z})_{1}=\sqrt{2}(cos\frac{\frac{\pi}{6}+2\pi }{2}–i\cdot sin\frac{\frac{\pi}{6}+2\pi }{2}=\sqrt{2}(cos\frac{13\pi}{12}–i\cdot sin\frac{13\pi}{12})[/m]
2 числа, которые являются ответом.
Расположены на окружности с центром (0;0)
радиусом sqrt(2)
См их расположение на рисунке.
Б)
4sqrt(-1+i)
z=-1+i
x=-1
y=1
|z|=sqrt(2)
φ =3π/4
[m]4\cdot \sqrt{z}=4\cdot \sqrt{\sqrt{2}}(cos\frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi k}{2}–isin\frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi k}{2})[/m]
k=0,1
при k=0
[m]4\cdot (\sqrt{z})_{0}=4\cdot \sqrt{\sqrt{2}}(cos\frac{\frac{3\pi}{4}}{2}–isin\frac{\frac{3\pi}{4}}{2})=4\cdot \sqrt{\sqrt{2}}(cos\frac{3\pi}{8}–isin{\frac{3\pi}{8}}[/m]
при k=1
[m]4cdot (\sqrt{z})_{1}=4\cdot \sqrt{\sqrt{2}}(cos\frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi }{2}–isin\frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi }{2})=4\cdot sqrt{\sqrt{2}}(cos\frac{11\pi}{8}–isin{\frac{11\pi}{8}}[/m]
2 числа, которые являются ответом.
См их расположение на рисунке 2
