Задача 54317 Помогите пожалуйста, кто разбирается....

5f846e15bd4db774878fe68c

12.10.2020 18:06:30

Помогите пожалуйста, кто разбирается. Времени копаться в книгах и все вспоминать нет совсем нужно довольно срочно, а за годы работы эта часть математики забылась совсем уже)
Исследовать методами дифференциального исчисления и
построить графики функций:

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.10.2020 20:41:36

★

y=2x^3+3x^2-12х-5

Область определения (– ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=(2x^3+3x^2-12х-5)`

y`=6x^2+6x-12

y`=0
6x^2+6x-12=0

x^2+x-2=0

D=1–4*(-2)=9

x=(-1±3)/2

x_(1)=-2; x_(2)=1

Расставляем знак производной ( производная y`=6x^2+6x-12– квадратичная функция,
графиком является парабола, ветви вверх,
поэтому на (-2;1) производная отрицательна, на двух остальных – положительна):

__+__ (-2) __–___ (1) __+__

y`>0 на (– ∞ ;-2) и на (1;+ ∞ ), значит функция возрастает на (– ∞ ;-2) и на (1;+ ∞ )

y`< 0 на (-2 ;1), значит функция убывает убывает на (-2 ;1)

х=-2 – точка максимума, производная меняет знак с + на –

у(-2)=2*(-2)^3+3*(-2)x^2-12*(-2)-5= считайте


х=1 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

y(-1)=2*1^3+3*1^2-12*1-5=-12


y``=(6x^2+6x-12)`

y``=12x+6

y``=0

12x+6=0

x=-1/2– точка перегиба, вторая производная меняет знак с – на +

Функция выпукла вверх на ( – ∞ ;-1/2) и выпукла вниз на (1/2;+ ∞ )


См. график на рис .1

2)

1) область определения функции
(–∞;0)U(0;+∞)

2) функция является нечетной
[m]y(–x)=\frac{(–x)^2+16}{4\cdot (–x)}=-\frac{x^2+16}{4\cdot x}=-y(x)[/m]

3)
x=0 – вертикальная асимптота

так как lim_(x→0)f(x)=∞

4) горизонтальной асимптоты нет, так как
[m]lim_{x→∞}\frac{x^2+16}{4\cdot x}[/m]=∞


[m]k=lim_{x→∞}\frac{\frac{x^2+16}{4\cdot x}}{x}=lim_{x→∞}\frac{x^2+16}{4\cdot x^2}=\frac{1}{4}[/m]

[m]b=lim_{x→∞}\frac{x^2+16}{4\cdot x}–\frac{1}{4}x=lim_{x→∞}\frac{x^2+16-x^2}{4x}=0[/m]

[m]y=\frac{1}{4}x[/m] – наклонная асимптота

5) точек пересечения с осью Ох нет
y=0
x^2+16=0 - уравнение не имеет корней

6)
[m]y`=\frac{(x^2+16)`\cdot 4 x – (x^2+16)\cdot(4 x)`}{(4x)^2}=\frac{(2x\cdot4 x – (x^2+16)\cdot 4}{16x^2}=4\frac{x^2-16}{16x^2}[/m]

y`>0 на ((–∞;-4) и на (4;+∞) ⇒ функция возрастает на (–∞;-4) и на (4;+∞)

y`<0 на (–4;0) и на (0;4) ⇒ функция убывает на (–4;0) и на (0;4)

x=-4 - точка максимума,

y(-4)=32/(-16)=-2

x=4 - точка минимума

y(4)=32/16=2

7)
[m]y``=4\frac{(x^2-16)`\cdot (4x^2)-(x^2-16)`\cdot (4x^2)`}{16x^4}=\frac{128x}{16x^4}=\frac{128}{x^3}[/m]



y`` <0 при x < 0, кривая выпукла вверх вниз

y`` >0 при x >0, кривая выпукла вниз