Задача 54196 Доказать, что рекуррентно заданная...
Условие
Решение
Рассмотрим
[m]|x_{n}-a|=|(\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}+\frac{1}{2})-a|=|(\frac{1+x_{n-1}-1}{1+x_{n-1}}+\frac{1}{2})-a|=[/m]
[m]=|1-\frac{1}{1+x_{n-1}}+\frac{1}{2}-a|< \epsilon[/m]
доказываем, что неравенство верно начиная с некоторого n
для любого ε >0
2)
Пусть
[m] lim_{x\rightarrow \infty} x_{n}=a[/m]
Тогда [m] lim_{x\rightarrow \infty}x_{n-1}=a[/m]
Вычисляем
[m] lim_{x\rightarrow \infty}x_{n}= lim_{x\rightarrow \infty}(\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}+\frac{1}{2})[/m]
[m] a= \frac{a}{1+a}+\frac{1}{2}[/m]
[m]2a^2-a-1=0[/m]
a=1 или a=-1/2 ( не удовл. условию x_(1)=1 и все остальные члены последовательности положительные)
[m] lim_{x\rightarrow \infty}x_{n}=1[/m]