Задача 54190 Составить уравнение плоскости,...

5f7f5438d7e1e679bf435be8

08.10.2020 21:03:36

Составить уравнение плоскости, проходящий через точки А(2,3,-1),В(1,1,4) перпендикулярно к плоскости х- 4у+3z+2=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

09.10.2020 00:23:21

x-4y+3z+2=0 ⇒ vector{n}=(1;-4;3) - нормальный вектор плоскости.

Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости

Тогда векторы:

vector{AM}=(x-2;y-3;z-(-1))=(x-2;y-3;z+1)
vector{AB}=(1-2; 1-3;4-(-1))=(-1;-2;5}
и
vector{n}=(1;-4;3)

компланарны.

Условие компланарности трех векторов- смешанное произведение равно 0

Смешанное произведение векторов, заданных координатами:

[m]\begin{vmatrix}
x-2&y-3 &z+1 \\
-1&-2&5 \\
1&-4 & 3
\end{vmatrix}[/m]


смешанное произведение равно 0:
[m]\begin{vmatrix}
x-2&y-3 &z+1 \\
-1&-2&5 \\
1&-4 & 3
\end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по правилу треугольника:

(x-2)*(-2)*3+(y-3)*5*1+(1-)*(-4)*(z+1)-1*(-2)*(z+1)-(-4)*5(x-2)-(-1)*3(y-3)=0

[b]-6(x-2)[/b]+[red]5(y-3)[/red]+4(z+1)+2(z+1)+[b]20(x-2)[/b]+[red]3(y-3)[/red]=0

14(x-2)+8(y-3)+6(z+1)=0

7(x-2)+4(y-3)+3(z+1)=0


7x+4y+3z-23=0