Задача 54169 В данной системе координат эллипс имеет...

5f7e27cd76b7cf17294b58e6

08.10.2020 10:36:53

В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если директрисами эллипса являются прямыеx=+-4 , а четырехугольник с вершинами в фокусах и концах малой оси – квадрат.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

08.10.2020 13:26:05

★

[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/m] - каноническое уравнение эллипса


[m]b^2=a^2-c^2[/m]

Фокусы эллипса

F_(1)(-c;0)
F_(2)(c;0)
Вершины: на оси Ох: А_(1)(-a;0) и A_(2)(a;0)
Вершины: на оси Оух: В_(1)(0;-b) и В_(2)(0;b)

Уравнения директрис:

[m] x=\pm\frac{a}{\epsilon}[/m]

[m]\epsilon=\frac{c}{a}[/m]

Значит, [m] x=\pm\frac{a^2}{c}[/m]- уравнения директрис:

Из условия "директрисами эллипса являются прямые x= ± 4"
получаем уравнение:
[m] \frac{a^2}{c}=4[/m]

Из условия "четырехугольник с вершинами в фокусах и концах малой оси –квадрат"
получаем:
[m]b=c[/m]

Решаем систему:
[m] \frac{a^2}{c}=4[/m]
[m]b=c[/m]
[m]b^2=a^2-c^2[/m] ⇒ [m] 2b^2=a^2[/m]

[m] \frac{a^2}{b}=4[/m] ⇒ [m]2b^2=4b[/m] ⇒ [b]b=2[/b] и тогда [m]a^2= 2b^2=4[/m]



[m]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1[/m] - о т в е т