Задача 54159 В данной системе координат гипербола...

5f7e27cd76b7cf17294b58e6

07.10.2020 23:43:46

В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 60°, а расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 3/2(2- корень из 3)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

08.10.2020 00:09:06

★

[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m] - каноническое уравнение гиперболы

Уравнения асимптот:

[m]y=\pm\frac{b}{a}x[/m]

Асимптоты - прямые, их угловые коэффициенты

[m]k_{1}=-\frac{b}{a}[/m] и значит [m]tg \alpha_{1}=-\frac{b}{a}[/m]

[m]k_{2}=\frac{b}{a}[/m] и значит [m]tg \alpha_{2}=\frac{b}{a}[/m]


Угол между асимптотами

[m]\alpha=\alpha_{1}-\alpha_{2}[/m]

[m]tg \alpha=tg (\alpha_{1}-\alpha_{2})=\frac{tg\alpha_{1}-tg\alpha_{2}}{1+tg \alpha_{1}\cdot \alpha_{2}}[/m]

[m]tg \alpha=\frac{-\frac{b}{a}-\frac{b}{a}}{1-\frac{b}{a}\cdot \frac{b}{a}}[/m]

[m]tg \alpha=\frac{-\frac{2b}{a}}{1-\frac{b^2}{a^2}}[/m]

По условию [m]\alpha=60 ^{o}[/m]

[m]tg \alpha=\sqrt{3}[/m]

[m]\frac{-\frac{2b}{a}}{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{3}[/m]


[m]x=\pm\frac{a}{\epsilon}[/m] - уравнения директрис ( см. объяснение в приложении)

По условию:

Расстояние от директрисы [m]x=\frac{a}{\epsilon}[/m] до вершины А (a;0)

[m] d=\frac{a}{\epsilon}-a[/m]
По условию оно равно [m]d=\frac{3}{2}\cdot (2– \sqrt{ 3})[/m]

Приравниваем:
[m]\frac{a}{\epsilon}-a=\frac{3}{2}\cdot (2– \sqrt{ 3})[/m]


Получили систему уравнений:

[m]\left\{\begin{matrix}\frac{-\frac{2b}{a}}{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{3}
\\ \frac{a}{\epsilon}-a=\frac{3}{2}\cdot (2– \sqrt{ 3})\\b^2=c^2-a^2\\\epsilon=\frac{c}{a}\end{matrix}\right.[/m]


Из системы найдем a и b

[m]\left\{\begin{matrix}\frac{2ab}{c^2}=\sqrt{3}
\\ \frac{a}{\frac{c}{a}}-a=\frac{3}{2}\cdot (2– \sqrt{ 3})\\b^2=c^2-a^2\\\end{matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin{matrix}\frac{2a\sqrt{c^2-a^2}}{c^2}=\sqrt{3}
\\ \frac{a^2-ac}{c}=\frac{3}{2}\cdot (2– \sqrt{ 3})\\b^2=c^2-a^2\\\end{matrix}\right.[/m]