Задача 54158 В данной системе координат эллипс имеет...

5f7e27cd76b7cf17294b58e6

07.10.2020 23:42:45

В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если отрезок оси Ох между фокусом F1 и дальней вершиной А большой оси делится вторым фокусом F2 пополам, а расстояние от F2 до прямой, проходящей через А и вершину малой оси, равно 1/ корень из 17 .

5f3ea7e3faf909182968ddd9

08.10.2020 00:39:54

★

[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/m]


[m]b^2=a^2-c^2[/m]

F_(1)(-c;0)
F_(2)(c;0)

A(a;0)
Из условия "отрезок оси Ох между фокусом F_(1) и дальней вершиной А большой оси делится вторым фокусом F_(2) пополам" получаем:

2с=a-c ⇒ [b]3c=a[/b]

Из условия "расстояние от F_(2) до прямой, проходящей через А и вершину малой оси, равно 1/ корень из 17 " составляем

уравнение прямой, проходящей через А(a;0) и B(0:b)

Уравнение имеет вид:

y=kx+b

Подставляем координату А:

0=ka+b ⇒ k=-b/a

[b]y=(-b/a)x-b[/b] - уравнение прямой, проходящей через А(a;0) и B(0:b)


Расстояние от точки F_(2) до этой прямой [m] \frac{b}{a}x+y+b=0[/m]

[m]d=|\frac{\frac{b}{a}\cdot c+0+b}{\sqrt{(\frac{b}{a})^2+1}}|[/m]

По условию равно:1/ корень из 17


[m]|\frac{\frac{b}{a}\cdot c+0+b}{\sqrt{(\frac{b}{a})^2+1}}|=\frac{1}{\sqrt{17}}[/m]


Из полученных уравнений, связывающих a, b получим ответ....