Задача 54157 ...
Условие
Решение
Все решения
[m]2x \geq log_{3}(\frac{152}{5}\cdot 15^{x-1}-3\cdot 25^{x–\frac{1}{2}})[/m]
[m](2x)\cdot 1\geq log_{3}(\frac{152}{5}\cdot 15^{x-1}-3\cdot 25^{x–\frac{1}{2}})[/m]
[m]1=log_{3}3[/m]
[m](2x)\cdot log_{3}3 \geq log_{3}(\frac{152}{5}\cdot 15^{x-1}-3\cdot 25^{x–\frac{1}{2}})[/m]
[m] log_{3}3^{2x} \geq log_{3}(\frac{152}{5}\cdot 15^{x-1}-3\cdot 25^{x–\frac{1}{2}})[/m]
Логарифмическая функция с основанием 3 > 1 возрастает,
[i]большему[/i] значению функции соответствует [i]большее[/i] значение аргумента и с учетом
области существования логарифмической функции получаем неравенство:
[m]0 < \frac{152}{5}\cdot 15^{x-1}-3\cdot 25^{x–\frac{1}{2}}\leq 3^{2x}[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}\frac{152}{5}\cdot 15^{x-1}-3\cdot 25^{x–\frac{1}{2}}\leq 3^{2x}
\\ \frac{152}{5}\cdot 15^{x-1}-3\cdot 25^{x–\frac{1}{2}} >0\end{matrix}\right.[/m]
По свойству степени:
[m]\left\{\begin{matrix}\frac{152}{5}\cdot 3^{x-1}\cdot 5^{x-1}-3\cdot (5^2)^{x–\frac{1}{2}} \leq 3^{2x}
\\ \frac{152}{5}\cdot 3^{x-1}\cdot 5^{x-1}-3\cdot (5^2)^{x–\frac{1}{2}} >0\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}152\cdot 3^{x-1}\cdot 5^{x-2}-3\cdot 5^{2x–1} \leq 3^{2x}
\\ 152\cdot 3^{x-1}\cdot 5^{x-2}-3\cdot (5^{2x-1}) >0\end{matrix}\right.[/m]
Делим оба уравнения на 3
[m]\left\{\begin{matrix}152\cdot 3^{x-2}\cdot 5^{x-2}- 5^{2x–1} \leq 3^{2x-1}
\\ 152\cdot 3^{x-2}\cdot 5^{x-2}- (5^{2x-1}) >0\end{matrix}\right.[/m]
[red]Замена переменных:[/red]
[m]3^{x-2}=u[/m]; [b]u >0[/b] ⇒ [m] 3^{x}=9u[/m] ⇒ [m] 3^{2x}=81u^2[/m] ⇒ [m] 3^{2x-1}=27u^2[/m]
[m] 5^{x-2}=v[/m] ;[b] v >0[/b]⇒ [m] 5^{x}=25v[/m] ⇒ [m] 5^{2x}=625v^2[/m] ⇒ [m] 5^{2x-1}=125v^2[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}152\cdot u\cdot v-125 v^2 \leq 27u^2
\\ 152\cdot u\cdot v - 125 v^2 >0\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}27u^2-152\cdot u\cdot v+ 125 v^2 \geq 0
\\ v\cdot (152 u -125 v) >0\end{matrix}\right.[/m]
Первое - однородное второй степени, делим на v^2
Во втором : [b]v > 0[/b] при любых х
[m]\left\{\begin{matrix}27(\frac{u}{v})^2-152\cdot \frac{u}{v}+ 125 \geq 0
\\ (152 u>125 v\end{matrix}\right.[/m]
D=152^2-4*27*125=(4*38)^2-4*27*125=4*(4*38^2-27*125)=4*(5776-3375)=4*2401=4*49^2=98^2
корни [m]\frac{u}{v}=\frac{152-98}{54}=1[/m]; [m]\frac{u}{v}=\frac{152+98}{54}=\frac{125}{27}(\frac{5}{3})^3[/m]
и так как v>0 ⇒ [m]\left\{\begin{matrix}\frac{u}{v}\leq (\frac{5}{3})^0 ; или \frac{u}{v} \geq (\frac{5}{3})^3
\\ \frac{u}{v} >\frac{125}{152}\end{matrix}\right.[/m]
Обратный переход
[m]\left\{\begin{matrix}(\frac{3}{5})^{x-2}\leq 1 или (\frac{3}{5})^{x-2} \geq \frac{125}{27}
\\ (\frac{3}{5})^{x-2} >\frac{125}{152}\end{matrix}\right.[/m]
Так как показательная функция убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
⇒ [m]\left\{\begin{matrix}x-2\geq 0 или (x-2) \leq 3
\\ x-2< log_{\frac{3}{5}}\frac{125}{152}\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}x\geq 2 или (x) \leq -1
\\ x < log_{\frac{3}{5}}\frac{125}{152}+2 \end{matrix}\right.[/m]
[m]log_{\frac{3}{5}}\frac{125}{152}>log_{\frac{3}{5}}1=0[/m] и потому [m]log_{\frac{3}{5}}\frac{125}{152}+2>2[/m]
О т в е т.[m] (- \infty;-1]\cup [2; log_{\frac{3}{5}}\frac{125}{152}+2)[/m]