Задача 54148 ...

5f54a306d4ce5a71e171a0a3

07.10.2020 19:04:09

В основі прямої призми лежить ромб із стороною а і гострим кутом α. Переріз призми площиною, проведеною через більшу діагональ однієї основи і протилежну вершину другої основи, є прямокутним трикутником. Знайти об`єм призми.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

07.10.2020 20:25:40

★

Большая диагональ основания - лежит против большего, т.е тупого угла (180 ° - α )
По теореме косинусов

d^2=a^2+a^2-2*a*a*cos(180 ° - α )=

( [blue]по формулам приведения cos(180 ° - α )=-cos α [/blue])

=2a^2+2a^2*cos α = 2a^2(1+cos α )=

( [blue] формула 1+cos α =2cos^2(α /2)[/blue])

=2a^2*[blue]2cos^2( α /2)[/blue]=4a^2*cos^2( α /2)

d=[blue]2acos( α /2)[/blue]

Боковые грани призмы - равные прямоугольники ( так как в основании ромб и все стороны основания а)

Поэтому диагонали этих прямоугольников равны.

Эти диагонали - катеты сечения.

Значит в сечении прямоугольный равнобедренный треугольник, пусть его катеты b

b=d*sin45 ° =[blue]2acos( α /2)[/blue] * sqrt(2)/2=acos( α /2)[/blue] * sqrt(2)

H^2=b^2+a^2=(acos( α /2)[/blue] * sqrt(2))^2+a^2

H=sqrt((acos( α /2)[/blue] * sqrt(2))^2+a^2)=[green]a*sqrt(2cos^2( α /2)+1)[/green]


V=S_(рома)*H=(1/2)a^2*sin α * [green]a*sqrt(2cos^2( α /2)+1)[/green]