Задача 54139 Срочно...
Условие
Решение
[m]\vec{a} || \vec{b}[/m] ⇒ их координаты пропорциональны
γ :2=1: β =-1:3
Здесь три пропорции.
Одна:
1: β =-1:3 ⇒ β =-3
Другая:
γ :2= -1:3 ⇒ γ =[m]-\frac{2}{3}[/m]
[m]\vec{a}=(-\frac{2}{3};1;-1)[/m]
[m]\vec{b}=(2;-3;3)[/m]
б)
пр[m]_{\vec{g}}\vec{f}=\frac{\vec{f}\cdot \vec{g}}{|\vec{g}|} [/m]
так как [m] \vec{c}[/m] ⊥ [m] \vec{d}[/m] ⇒ [m] \vec{c}\cdot\vec{d}=0 [/m] ⇒
Cкалярное произведение векторов, заданных в координатах,
равно сумме произведений одноименных координат:
α *(-1)+4*( α )+(-1)*(0)=0 ⇒ 3 α =0 ⇒ α =0
[m]\vec{с}=(0;4;-1)[/m]
[m]\vec{d}=(-1;0;0)[/m]
[m]\vec{f}=\vec{b}+\vec{c}=(2;-3;3)+(0;4;-1)=(2+0;-3+4;3+(-1))=(2;1;2)[/m]
[m]\vec{g}=2\vec{a}-\vec{d}=(-\frac{4}{3};2;-2)-(-1;0;0)=((-\frac{4}{3})-(-1);2-0;-2-0)=(-\frac{1}{3};2;-2)[/m]
[m]\vec{f}\cdot \vec{g}=2\cdot (-\frac{1}{3})+1\cdot2+2\cdot (-2)=-\frac{8}{3}[/m]
[m]|\vec{g}|=\sqrt{(-\frac{1}{3})^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{8\frac{1}{9}}=\sqrt {\frac{73}{9}}=\frac{\sqrt{73}}{3}[/m]
пр[m]_{\vec{g}}\vec{f}=\frac{\vec{f}\cdot \vec{g}}{|\vec{g}|} =\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{\sqrt{73}}{3}}=-\frac{8}{\sqrt{73}}[/m]
в) условием компланарности трех векторов является равенство нулю
определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов.
Составляем определитель:
[m]\begin{vmatrix}
-\frac{2}{3}&1 &-1 \\
2&-3 &3 \\
0&4 & -1
\end{vmatrix}[/m]
Раскрываем определитель по правилу треугольника ( правило Саррюса):
[m]=(-\frac{2}{3})\cdot (-3)\cdot (-1)+1\cdot 3\cdot 0+2\cdot 4\cdot (-1)-0\cdot 3\cdot(- 1)-4\cdot 3\cdot (-\frac{2}{3})-2\cdot 1\cdot (-1)=0[/m]
Значит векторы компланарны
г)
[m]\vec{i}=(1;0;0)[/m] ⇒ [m]\vec{d}=-\vec{i}[/m]
