Задача 53937 Помогите с системой уравнений: ...

5f6cf18a347ae046112d5363

06.10.2020 14:24:28

Помогите с системой уравнений:
3x^(2)–2xy+5y^(2)=35
x^(2)–2y^(2)=1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.10.2020 14:47:31

★

Делим первое уравнение на второе:

[m]\left\{\begin{matrix}
\frac{3x^2-2xy+5y^2}{x^2-2y^2}=\frac{35}{1}\\ x^2-2y^2=1

\end{matrix}\right.[/m]

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:
[m]\left\{\begin{matrix}
3x^2-2xy+5y^2=35\cdot (x^2-2y^2)\\ x^2-2y^2=1

\end{matrix}\right.[/m]


[m] 32x^2+2xy-75y^2=0[/m] - однородное уравнение второй степени, из которого находим зависимость у от х


Можно рассматривать как квадратное относительно х c параметром у:
D=(2y)^2-4*32*(-75y^2)=9604*y^2=(98*y)^2
x_(1)=(-2y-98y)/64=(-25/16)y; x_(2)=(-2y+98y)/64=(3/2)y


или разделив на y^2 получим квадратное относительно (x/y)

32*(x/y)^2+2*(x/y) -75=0

Получаем совокупность двух систем:
[m]\left\{\begin{matrix}
x=-\frac{25}{16}y\\ x^2-2y^2=1

\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
x=\frac{3}{2}y\\ x^2-2y^2=1

\end{matrix}\right.[/m]

Решаем каждую способом подстановки:

[m]\left\{\begin{matrix}
x=-\frac{25}{16}y\\ (-\frac{25}{16}y)^2-2y^2=1

\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
x=\frac{3}{2}y\\ (\frac{3}{2}y)^2-2y^2=1

\end{matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin{matrix}
x=-\frac{25}{16}y\\ y^2=\frac{256}{113}

\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
x=\frac{3}{2}y\\ y^2=4

\end{matrix}\right.[/m]

О т в е т. [m](-\frac{25}{\sqrt{113}}; \frac{16}{\sqrt{113}});(\frac{25}{\sqrt{113}}; -\frac{16}{\sqrt{113}}); (3;2);(-3;-2)[/m]