Задача 53933 Заданы вектора : a=...

5f7c4b3876b7cf17294b4f88

06.10.2020 13:48:04

Заданы вектора : a= i+3j-2k;b=2i-3j+k;c=i+j-2k.
Определить :
1)Скалярное произведение a•b
2)Векторное произведение a•b
3)Смешённое произведение (a•b)•c.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.10.2020 14:19:28

★

vector{a}=vector{i}+3* vector{j}–2vector{k};
vector{b}=2vector{i}–3vector{j}+vector{k};
vector{c}=vector{i}+vector{j}–2vector{k}
1)Скалярное произведение
vector{a}*vector{b}=(vector{i}+3*vector{j}–2*vector{k})*(2* vector{i}–3*vector{j}+vector{k})=

раскрываем скобки как в алгебре:
=vector{i}*2vector{i}+3* vector{j}*2vector{i}–2*vector{k}*2vector{i}+

+vector{i}*(-3vector{j})+3* vector{j}*(-3vector{j})–2*vector{k}*(-3vector{j})+

+vector{i}*vector{k}+3* vector{j}*2vector{k}–2*vector{k}*vector{k}=

так как
vector{i}*vector{i}= vector{j}* vector{j}= vector{k}* vector{k}=1

vector{i}*vector{j}= vector{i}* vector{k}= vector{j}* vector{k}=0

получаем

=2-3*3-2=[b]-9[/b]

Можно получить ответ, зная, что скалярное произведение векторов равно сумме произведения одноименных координат

vector{a}=vector{i}+3* vector{j}–2vector{k} ⇒ vector{a}=(1;3;-2)
vector{b}=2vector{i}–3vector{j}+vector{k}⇒ vector{b}=(2;-3;1)

vector{a}*vector{b}=1*2+(3)*(-3)+(-2)*1=-9



2)Векторное произведение a•b

vector{a} × vector{b}=(vector{i}+3*vector{j}–2*vector{k}) × (2* vector{i}–3*vector{j}+vector{k})=

раскрываем скобки как в алгебре:
=vector{i} × 2vector{i}+3* vector{j} × 2vector{i}–2*vector{k} × 2vector{i}+

+vector{i} × (-3vector{j})+3* vector{j} × (-3vector{j})–2*vector{k} × (-3vector{j})+

+vector{i} × vector{k}+3* vector{j} × vector{k}–2*vector{k} × vector{k}=

так как
vector{i} × vector{i}= vector{j} × vector{j}= vector{k} × vector{k}=0

vector{i} × vector{j}=- vector{k} × vector{j}
vector{i} × vector{k}=- vector{k} × vector{i}
vector{j} × vector{k}=- vector{k} × vector{j}
и
vector{i} × vector{j}=vector{k}
vector{i} × vector{k}=-vector{j}
vector{j} × vector{k}=vector{i}

получаем

=2*0+6vector{j} × vector{i}-4*vector{k} ×vector{i}-3vector{i} × vector{j}-9*0+6 vector{k} × vector{j}+vector{i} × vector{k} +3 vector{j} × vector{k}-2*0=-9*vector{i} × vector{j}-3* vector{j} × vector{k}+5vector{i} × vector{k}=-9 vector{k}-3* vector{i} -5vector{j}

Получили вектор с координатами: (-3;-5;-9)



=-6vector{k}+3vector{k} +6 vector{j}-vector{j}+6


3)Смешaнное произведение (a•b)•c

-9 * (-9 vector{k}-3* vector{i} -5vector{j} )=81vector{k}+27 vector{i}+45vector{j}

получили вектор с координатами (81:27;45)